Risque de ruine
La probabilité de perdre tout votre capital de jeu avant d’atteindre un objectif.
Pour les chances simples, le risque de ruine suit la formule de la ruine du joueur. Avec un capital de jeu de $500, des mises de $10 et un objectif de $600, vous atteignez l’objectif environ 57% du temps et vous êtes ruiné le reste du temps.
La question
Vous avez a unitésargentUnitéLa mise de base dans laquelle un système ou un joueur compte. Les progressions sont décrites en unités afin de s’appliquer à n’importe quelle table.Lire en entier → de capital de jeuargentCapital de jeuLa somme totale mise de côté pour jouer. Gérer son capital de jeu, c’est décider quelle part en risquer par pari et par session.Lire en entier → et voulez atteindre a + b unités, en misant une unité à la fois sur une chance simplepariChance simpleRouge/noir, impair/pair, passe/manque. 18 numéros, paie 1:1.Lire en entier → de probabilitémathsProbabilitéMesure de la possibilité d’une issue, de 0 à 1 ou de 0% à 100%. Un numéro : 1/37 = 2,70%.Lire en entier → de gain p = 18/37 et de probabilité de perte q = 19/37. Quelle est la probabilité d’atteindre l’objectif avant d’atteindre zéro ? La réponse a été établie par Pascal, Fermat et Huygens dans les années 1650 et c’est l’un des plus anciens résultats de la théorie des probabilités.
La formule de la ruine du joueur
P(atteindre l’objectif) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Le risque de ruinemathsRisque de ruineProbabilité de perdre tout le capital de jeu avant d’atteindre un objectif ou un nombre de coups.Lire en entier → est égal à un moins cette valeur. Avec q/p = 19/18 ≈ 1,0556, le rapport croît exponentiellement avec le nombre d’unités, si bien que la formule punit sévèrement les petites unités : plus il faut de paris pour atteindre l’objectif, plus le péage de 2,70% est payé en chemin.
Lecture
Les petites unités font mal. Essayer de doubler $500 avec des mises de $10 réussit 6% du temps ; avec une seule mise de $500, cela réussit 48,6% du temps. Le jeu audacieux, moins de paris et plus gros, maximise la probabilité d’atteindre un objectif dans un jeu à espérance négative, parce qu’il minimise le nombre de fois où l’avantage s’applique. Il maximise aussi la variancemathsVarianceUne mesure de la dispersion des résultats autour de l’espérance mathématique. Élevée pour le plein, faible pour les chances simples.Lire en entier → de ce qui vous arrive, et il met fin à la soirée vite. Le théorème s’appelle « le jeu audacieux est optimal » et il a été démontré par Dubins et Savage en 1965.
Aux origines du problème
La question est plus ancienne que la roulette. En 1656, Pascal a soumis une énigme à Fermat : deux joueurs lancent trois dés, chacun commençant avec 12 jetons ; un 11 fait passer un jeton dans un sens, un 14 dans l’autre. Tous deux l’ont résolue, et Huygens, qui en avait eu connaissance par une lettre du mathématicien Pierre de Carcavi, l’a publiée en 1657 comme cinquième problème du premier livre sur les probabilités, avec la réponse et sans démonstration. Onze peut s’obtenir de 27 façons et quatorze de 15 seulement, donc chaque jeton va du côté du premier joueur 9 fois sur 14, et la formule ci-dessus, avec 12 jetons chacun, rend sa victoire totale environ 1 157 fois plus probable que sa ruine totale. Un avantage de 2,70% est bien plus petit, mais la même formule montre ce qu’il produit sur de nombreux paris.
Un vrai pari audacieux
En avril 2004, Ashley Revell, un jeune Anglais, a vendu presque tout ce qu’il possédait, vêtements compris, et a apporté $135 300 au Plaza de Las Vegas. Après quelques petites mises, il a misé la somme entière sur le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier →, une seule fois. La billematérielBilleLa petite bille lancée sur la piste dans le sens contraire à celui du rotor. Les billes modernes sont en ivorine ou en Téflon, 18–21 mm.Lire en entier → est tombée sur le 7 rouge et il est reparti avec $270 600. Sur un cylindre à double zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier →, ce coup unique avait une probabilité de 47,37% et lui coûtait $7 121 en moyenne : l’avantage de 5,26% sur une seule mise. Réparti en mises de $10, le même objectif aurait été presque sans espoir. Le jeu audacieux ne rend pas le pari bon ; il le rend aussi court que possible.
Risque de ruine sans objectif
Si vous jouez simplement jusqu’à la ruine ou vous arrêtez après N coups, la question devient « quelle est la probabilité que mon capital de jeu touche zéro en N coups ? ». Il n’existe pas de formule explicite pour N quelconque, mais les simulateurs de ce site la calculent : un capital de jeu de $500 à $10 sur le rouge n’est presque jamais ruiné en 100 coups (moins de 1%), l’est environ 9% du temps en 500 coups, et environ 95% du temps en 5 000. Sans règle d’arrêt, la probabilité tend vers 100%, ce qui est la version à long terme de l’avantage de la maisonmathsAvantage de la maisonLa part de chaque mise que le casino garde en moyenne : 2,70% à la roulette européenne.Lire en entier →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- médiane −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Combien de temps, et avec quelle avance
Deux autres résultats classiques répondent à des questions que les joueurs se posent vraiment. Sans objectif, des mises constantes sur les chances simples durent en moyenne 37 coups par unité de capital de jeu sur un cylindre européen et 19 sur un cylindre américain, parce que chaque coup prélève en moyenne 1/37 d’unité (1/19 sur un cylindre américain) : 100 unités durent 3 700 coups en moyenne, bien que la moitié de ces sessions se terminent en 3 134 coups au plus (voir Durée et coût d’une session). Et quelle que soit la taille du capital, la probabilité, sur un cylindre européen, d’avoir à un moment donné k unités d’avance est de (18/19)ᵏ. Elle est de 95% pour une unité et de 58% pour dix, mais aucun capital, si gros soit-il, ne rend plus probable qu’improbable le fait d’avoir un jour 13 unités d’avance ; sur un cylindre américain, la probabilité est de (9/10)ᵏ et passe sous la moitié à 7 unités.
Un capital pour une chance sur deux
Retournez la question : combien faut-il apporter pour avoir au moins une chance sur deux de gagner une somme donnée avant de tout perdre ? Pour un petit gain, pas grand-chose. Pour un gain plus grand, le capital nécessaire grimpe en flèche, et au-delà d’un certain point aucun capital ne suffit, car même un capital infini donne moins d’une chance sur deux d’arriver un jour aussi loin devant. Taylor (2021) le dit autrement : sur un cylindre américain, pour avoir une chance sur deux d’atteindre 100 unités, il faut partir de 94, en risquant 94 pour en gagner 6. Sur un cylindre européen, il en faudrait 88.
La leçon pratique
Décidez ce que vous cherchez à faire. Si le but est un gain précis, misez gros et peu. Si le but est une longue soirée, misez petit et acceptez que l’avantage prélève ses 2,70% sur un gros volume de misesargentVolume de misesLe montant total misé sur une session ou une période, gains remis en jeu compris. En anglais : turnover, handle, action.Lire en entier →. Si le but est les deux, quelque chose doit céder, et c’est généralement l’objectif.
Formule
Questions
La martingalestratégieMartingaleProgression qui double la mise après chaque perte. Voir la section Stratégie pour ce qu’elle fait et ne fait pas.Lire en entier → le réduit pour les sessions courtes et l’augmente fortement pour les longues. La mise constantestratégieMise constanteMiser le même montant à chaque coup. La référence à laquelle toute progression est comparée.Lire en entier → à une unité plus grande est la façon honnête de le réduire.
La formule ci-dessus vaut pour les chances simples. Pour les paris à forte variance, la ruine est plus probable à petite mise et l’objectif s’atteint de façon plus irrégulière ; utilisez le calculateur.
Chaque pas vers l’objectif est un peu moins probable que chaque pas vers la ruine ; le rapport se compose sur le nombre de pas.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
Vous avez $100 et voulez $1 000, en misant uniquement sur le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier →. Plan un : miser $1 à la fois. Plan deux : miser tout ce que vous avez jusqu’à dépasser $500, puis juste ce qu’il faut pour atteindre $1 000. Quel plan est le meilleur, et de combien ?
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Réponse Le plan deux, de loin. Il atteint $1 000 environ 9,0% du temps, près des 10% d’un jeu équitable. Le plan un réussit environ 7 fois sur 10²².
Dans un jeu équitablemathsJeu équitableUn jeu dans lequel aucun des deux camps n’a l’avantage : chaque pari a une espérance mathématique nulle.Lire en entier →, vous atteindriez $1 000 en partant de $100 une fois sur dix quoi que vous fassiez, parce que la valeur moyenne de votre argent reste de $100.
L’avantage prélève 2,70% de chaque pari : moins vous misez au total, plus vous restez proche d’une fois sur dix. Le plan deux règle l’affaire en une poignée de paris : $100 deviennent $200, $400, $800, puis $200 suffisent. Il réussit environ 9,0% du temps. Le plan un demande des milliers de paris avant que la marche ne s’arrête, et l’avantage, petit sur chacun d’eux, s’accumule jusqu’à une ruine presque certaine.
C’est le résultat de Dubins et Savage sous sa forme la plus simple (Epstein, 2013) : dans un jeu qui favorise la maison, misez autant qu’il vous faut, aussi peu de fois que possible.
Vous avez $500 et voulez $1 000, en vous arrêtant dès que vous les avez. Vous choisissez un type de pari et le répétez jusqu’à ce qu’il gagne une fois ou que l’argent soit épuisé. Quel type de pari donne la meilleure probabilité ?
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Réponse Une seule mise de $500 sur le rouge : 48,6%. Tout plan qui répartit l’argent sur de plus petites mises fait moins bien.
Choisissez chaque mise de sorte qu’un seul gain suffise : $30 sur un pleinpariStraight upNom anglais du plein, courant sur les tables en ligne. Un seul numéro, paie 35:1.Lire en entier → gagnent $1 050, $60 sur un chevalpariSplitNom anglais du cheval, courant sur les tables en ligne. Deux numéros voisins, paie 17:1.Lire en entier → gagnent $1 020, et ainsi de suite. Comptez ensuite la probabilité qu’au moins un pari gagne avant que l’argent soit épuisé. Seize pleins de $30 manquent tous avec une probabilité de (36/37)¹⁶ = 64,5%, si bien qu’ils atteignent les $1 000 dans 35,5% des cas.
Le tableau donne chaque pari. Le rouge fait le mieux parce qu’il y arrive en un seul pari : l’avantage n’est payé qu’une fois, sur $500. Le sixainpariSix lineNom anglais du sixain, courant sur les tables en ligne. Six numéros sur deux rangées voisines, paie 5:1.Lire en entier → arrive deuxième parce qu’il n’a besoin que de trois paris. Une seule mise sur une douzainepariDozenNom anglais de la douzaine, courant sur les tables en ligne. 1–12, 13–24 ou 25–36, paie 2:1.Lire en entier → est la pire, une probabilité de 12/37 ; même jouée en unitésargentUnitéLa mise de base dans laquelle un système ou un joueur compte. Les progressions sont décrites en unités afin de s’appliquer à n’importe quelle table.Lire en entier → de $250 jusqu’à ce que vous ayez $1 000 ou plus, la douzaine n’y parvient que 46,4% du temps.
Bollman (2024) construit le même tableau pour un cylindre américain. Sa ligne de la douzaine contient une erreur : elle devrait indiquer 12/38 = 31,6%.
parimise × nombre de parisprobabilité d’atteindre $1 000Plein$30 × 1635,5%Cheval$60 × 835,9%Transversale pleine$90 × 534,5%Carré$125 × 436,7%Sixain$166, $166, $16841,2%Douzaine$500 × 132,4%Rouge$500 × 148,6%Vous misez une unité sur le rouge, coup après coup, avec un capital de jeuargentCapital de jeuLa somme totale mise de côté pour jouer. Gérer son capital de jeu, c’est décider quelle part en risquer par pari et par session.Lire en entier → qui ne s’épuise jamais. Après le premier coup, vous avez une unité d’avance ou une unité de retard. Quelle est la probabilité de revenir un jour exactement à égalité ?
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Réponse 36 sur 37, 97,3%. Sur un cylindre américain, c’est 36 sur 38, 94,7%.
Si le premier coup gagne (18 fois sur 37), vous avez une unité d’avance, et l’avantage de la maison tire vers le bas toute session sans fin, donc tôt ou tard vous repassez par l’égalité : c’est certain. S’il perd (19 fois sur 37), vous devez remonter d’une unité, et la probabilité d’avoir un jour une unité d’avance est de 18/19 (voir le tableau ci-dessus).
Ensemble : 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
En général, la probabilité vaut 1 moins l’écart entre les probabilités de gagner et de perdre un coup : 1 − 1/37 sur un cylindre européen, 1 − 2/38 sur un américain. Dans un jeu sans zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier →, l’écart est nul et la probabilité vaut 1 : le score revient toujours à égalité. Epstein (2013) donne la règle générale.
L’énigme de Pascal, en 1656 : deux joueurs lancent trois dés, chacun commençant avec 12 jetons. Chaque 11 fait passer un jeton au premier joueur, chaque 14 en fait passer un au second ; les autres lancers ne comptent pas. Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne les 24 ? Et si, à la place, vous misez 1 unité sur le rouge à chaque coup contre un ami qui fait la banque, 12 unités chacun, quelle est la probabilité que vous gagniez les 24 ?
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Réponse Le premier joueur gagne environ 1 157 fois sur 1 158. Vous, sur le rouge, ne gagnez les 24 unités qu’environ 34% du temps.
Trois dés font 11 de 27 façons et 14 de 15 façons, donc chaque jeton qui bouge va au premier joueur 27 fois sur 42, soit 9 fois sur 14. Chaque camp partant de 12, la probabilité de tout prendre est 1/(1 + r¹²), où r est le rapport entre la probabilité de l’autre camp et la vôtre.
Pour le premier joueur, r = 5/9 et (5/9)¹² ≈ 0,00086 : sa probabilité est donc d’environ 0,99914, soit une cote de 9¹² contre 5¹², ou 282 429 536 481 contre 244 140 625, environ 1 157 contre 1. Huygens a publié exactement ces nombres en 1657.
Sur le rouge, r = 19/18 à cause du zéro, et (19/18)¹² ≈ 1,913 : votre probabilité est de 1/2,913 ≈ 34,3%. Une pièce donnerait 50%. L’avantage de 2,70% sur chaque mise s’accumule, sur les nombreuses mises nécessaires, en un écart de 16 points.
Intermède comique
Le jeu audacieux est optimal. Il est aussi vite terminé.
Sources
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Lettre à Huygens, 28 septembre 1656, sur le problème posé par Pascal à Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”