Critère de Kelly et roulette

Le critère

John Kelly (1956) s’est demandé comment un joueur ayant un avantage connu devait dimensionner ses mises pour maximiser la croissance à long terme de son capital de jeuargentCapital de jeuLa somme totale mise de côté pour jouer. Gérer son capital de jeu, c’est décider quelle part en risquer par pari et par session.Lire en entier →. La réponse, pour un pari qui paie b contre 1 avec une probabilitémathsProbabilitéMesure de la possibilité d’une issue, de 0 à 1 ou de 0% à 100%. Un numéro : 1/37 = 2,70%.Lire en entier → de gain p et une probabilité de perte q = 1 − p, est de miser la fraction f* = (bp − q) / b du capital. Un f* positif signifie miser cette fraction ; zéro ou négatif signifie ne pas miser. Kelly travaillait aux Bell Labs, et son article, « A new interpretation of information rate », plaçait le problème dans la théorie de l’information de Claude Shannon : un joueur qui reçoit des tuyaux par une ligne bruitée, à des cotes équitables, peut au mieux faire croître son capital au rythme auquel la ligne transmet de l’information. En 1961, Leo Breiman a démontré que les mises de Kelly finissent, à long terme, devant toute stratégie essentiellement différente et atteignent un objectif fixé en un temps à peu près minimal.

Appliqué à la roulette

Pour le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier → : b = 1, p = 18/37, q = 19/37 ; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Pour un pleinpariStraight upNom anglais du plein, courant sur les tables en ligne. Un seul numéro, paie 35:1.Lire en entier → : b = 35, p = 1/37, q = 36/37 ; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Chaque pari classique donne une fraction de Kelly négative, parce que chaque pari est d’espérance négative, et la mise qui optimise la croissance est zéro. Kelly est une façon formelle de dire ce que dit la page sur l’avantage de la maison : il n’existe aucune taille à laquelle un pari d’espérance négative fasse croître un capital de jeu.

Là où Kelly s’appliquait

Les joueurs de biais avaient un avantage et un problème de dimensionnement. Jagger, les García-Pelayo et les Eudaemons ont tous dû décider combien miser sur leur avantage mesuré, et miser trop peu gaspille l’avantage tandis que miser trop risque la ruine avant que l’avantage ne se manifeste. Pour une casematérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier → qui sort 1 fois sur 30, Kelly préconise 0,57% du capital de jeu par coup sur ce numéro : avec $10 000, environ $57 par coup, pour une croissance typique d’environ 0,054% par coup, soit ×1,7 sur 1 000 coups. Le gain moyen est deux fois plus élevé, 0,11% par coup, mais Kelly vise le capital typique, non le capital moyen, que quelques séries chanceuses gonflent. Le demi-Kelly est le choix pratique habituel, parce que l’estimation de l’avantage est incertaine.

Joueurs de roulette célèbresLes Eudaemons

Typique et moyen

L’écart entre le capital de jeu typique et le capital moyen est grand. Prenez une case qui sort 1 fois sur 25, soit un avantage de 44%, le chiffre que Thorp donne pour son appareil. Kelly y mise 1,26% du capital. Après 1 000 coups, le capital typique a été multiplié par environ 11,5, tandis que le capital moyen, tiré vers le haut par quelques séries très chanceuses, a été multiplié par environ 249. Miser plus que Kelly élève la moyenne et abaisse le résultat typique : à deux fois la mise de Kelly, le capital typique ne fait que doubler, et dès deux fois et demie la mise de Kelly il diminue, alors que chaque pari garde un avantage de 44%. Miser moins coûte peu : la moitié de la mise conserve environ les trois quarts de la croissance.

Quand l’avantage est une supposition

Kelly suppose l’avantage connu. À la table, il est estimé, et l’estimation est en général trop haute. L’exemple d’Epstein, bâti sur les 44% de Thorp, est un numéro sorti 49 fois en 1 225 coups sur un cylindre à double zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier → : 1 fois sur 25, un avantage de 44%, une mise de Kelly de 1,26%. Mais un cylindre non biaisé à double zéro compte 38 numéros, et le plus fréquent d’entre eux atteint 49 sorties ou plus en 1 225 coups environ une fois sur neuf. Le numéro le plus fréquent d’un relevé est aussi celui que la chance a le plus aidé, si bien que même une case réellement biaisée paraît meilleure dans le relevé qu’elle ne l’est : c’est la malédiction du vainqueur. Si cette case est en fait non biaisée, la mise de Kelly n’est qu’un pari qui perd 5,26% en moyenne. Les réponses habituelles : miser une fraction de Kelly, et continuer à compter jusqu’à ce que l’avantage résiste à un nouveau relevé (voir Détecter un biais du cylindre).

Ceux qui ont un avantage

Connaître l’avantage n’est pas la même chose que bien s’en servir. Haghani et Dewey (2016) ont donné $25 à chacun de 61 participants pour miser pendant une demi-heure sur une pièce dont on leur avait dit qu’elle tombait sur face 60% du temps, avec des gains plafonnés à $250 (les joueurs n’apprenaient l’existence du plafond qu’en l’atteignant). Kelly dit de miser 20% du capital de jeu sur face à chaque fois, et les auteurs estiment que des mises régulières de 10–20% auraient atteint le plafond environ 95% du temps. Seuls 21% des joueurs y sont parvenus. 28% se sont ruinés, 18 des 61 ont tout misé sur un seul lancer, environ un tiers ont fini sous les $25 de départ, et le paiementargentPaiementCe que rapporte un pari gagnant, exprimé sous la forme « X contre 1 », en plus de la mise rendue.Lire en entier → moyen a été de $91. Seuls cinq des 61 avaient entendu parler du critère de Kelly. Avec un avantage, la taille des mises décide si vous le gardez ; sans avantage, comme devant un cylindre équitable, aucune taille n’y change rien.

Que faire à la place

Sans avantage, le dimensionnement est une question de budget, non de croissance : mise = ce que vous êtes prêt à dépenser par coup, déduit du budget horaire et de la cadence de la table (page sur la gestion du capital de jeu). L’apport de Kelly au joueur ordinaire est la netteté de sa réponse : zéro. Tout ce que vous misez au-dessus de zéro est le prix du jeu, choisi par vous, optimisé par aucune formule.

Une remarque sur le Kelly fractionnaire et la « gestion du capital de jeu »

Les systèmes vendus comme « Kelly pour la roulette » qui recommandent un pourcentage fixe du capital de jeu par pari sont de la mise constantestratégieMise constanteMiser le même montant à chaque coup. La référence à laquelle toute progression est comparée.Lire en entier → avec une mise qui diminue. Ils perdent 2,70% du volume de misesargentVolume de misesLe montant total misé sur une session ou une période, gains remis en jeu compris. En anglais : turnover, handle, action.Lire en entier → et, comme la mise diminue à mesure que vous perdez, ils rendent la ruine lente plutôt qu’improbable. C’est une façon raisonnable de faire durer un budget ; ce n’est pas Kelly, qui dirait d’arrêter.

Mise constante

Formule

Questions