Fibonacci
Les mises suivent 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Avancez d’un cran après une perte, reculez de deux après un gain.
Il ne bat pas le cylindre ; aucun plan de mise ne le fait. Il est plus doux que la martingale : il survit plus longtemps à des séries perdantes avant d’atteindre la limite, et récupère plus lentement. La perte attendue est la même : 2,70% du volume de misesargentVolume de misesLe montant total misé sur une session ou une période, gains remis en jeu compris. En anglais : turnover, handle, action.Lire en entier →.
Comment la séquence se construit
Chaque nombre est la somme des deux précédents.
Ainsi, après 8 et 13 vient 21.
Si l’on dessine chaque nombre sous forme de carré, les carrés s’emboîtent : chaque nouveau carré est aussi long que les deux précédents mis côte à côte. Un quart de cercle dans chaque carré, et les arcs se rejoignent en une spirale.
Parcourir la séquence
Une perte fait avancer d’un cran vers la droite. Un gain fait reculer de deux crans.
Les mises et les résultats sont exprimés en unités de la mise de base.
Comment fonctionne le système Fibonacci ?
Écrivez les nombres de FibonaccistratégieFibonacciProgression qui suit la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… : un rang en avant après une perte, deux rangs en arrière après un gain.Lire en entier → : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Chacun est la somme des deux précédents. Commencez au premier et misez ce nombre d’unitésargentUnitéLa mise de base dans laquelle un système ou un joueur compte. Les progressions sont décrites en unités afin de s’appliquer à n’importe quelle table.Lire en entier →. Vous perdez : vous avancez d’un cran vers la droite. Vous gagnez : vous reculez de deux crans vers la gauche, ou vous revenez au début s’il n’y a pas la place. C’est tout le système. Le tableau montre ce que coûte chaque étape : une série de pertes interrompue par la limite de tabletableLimite de tableMise minimale et mise maximale autorisées. C’est le maximum qui arrête les progressions par doublement.Lire en entier → ou par votre capital de jeuargentCapital de jeuLa somme totale mise de côté pour jouer. Gérer son capital de jeu, c’est décider quelle part en risquer par pari et par session.Lire en entier → perd la somme de tout ce qui a été misé jusque-là.
À quoi ressemble une session ?
Prenez une base de $10 et huit coups : P P G P P P G G. Les mises sont 10, 10, 20 (gain, retour de deux crans, à l’étape 1), 10, 10, 20, 30 (gain, retour de deux crans, à l’étape 2), 10 (gain, retour au départ). Perdu : 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. Gagné : 20 + 30 + 10 = 60. Cinq pertes, trois gains, et vous êtes à l’équilibre. C’est l’attrait du système. Le coût est sur la même ligne : il a fallu $120 de mises pour y arriver, et chaque dollar misé porte l’avantage de la maisonmathsAvantage de la maisonLa part de chaque mise que le casino garde en moyenne : 2,70% à la roulette européenne.Lire en entier →.
Pourquoi reculer de deux crans et non d’un ?
Parce qu’un gain paie exactement deux pertes. Chaque nombre est la somme des deux précédents, donc un gain à 5 unités rend les 2 et 3 perdus juste avant. Pensez à un escalier : une marche de plus à chaque perte, deux marches de moins à chaque gain. La marche où vous vous tenez est votre dette. À la marche 5 vous êtes à 7 unités de perte, à la marche 8 à 33, et de retour sur la première marche vous êtes exactement à zéro. Le bénéfice ne vient que des gains sur la première marche, une unité à la fois.
Avec presque autant de gains que de pertes, deux marches pour une a l’air d’une bonne affaire, et la plupart du temps l’escalier ramène bien en bas. Le piège est que les marches sont de plus en plus hautes à mesure que vous montez. Dix gains sur la première marche rapportent 10 unités. Trois pertes aux étapes 6, 7 et 8 coûtent 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- médiane −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
Le système Fibonacci fonctionne-t-il ?
Non. Pas comme moyen de finir gagnant. Le calcul est le même que pour tous les systèmes : chaque mise perd en moyenne 1/37 de son montant, donc la séquence entière perd 1/37 de tout ce qui a été misé. Une suite célèbre n’y change rien, car le cylindre paie au même taux quelle que soit la taille du jetonargentJetonUne pièce représentant un montant fixe, posée sur le tapis pour faire un pari. Aussi, en anglais : cheque.Lire en entier →. Les mises du Fibonacci dérivent vers le haut : il mise donc plus par coup que la mise constantestratégieMise constanteMiser le même montant à chaque coup. La référence à laquelle toute progression est comparée.Lire en entier →, et sa perte attenduemathsPerte attendueL’espérance mathématique multipliée par le montant total misé ; le montant perdu en moyenne sur une session ou une période.Lire en entier → par session est plus élevée. La martingalestratégieMartingaleProgression qui double la mise après chaque perte. Voir la section Stratégie pour ce qu’elle fait et ne fait pas.Lire en entier → mise plus encore, et perd davantage.
Est-il plus sûr que la martingale ?
Il est plus lent, ce qui n’est pas la même chose. Les mises de Fibonacci croissent d’environ 1,6× par étape au lieu de 2×, donc une limite de $500 est atteinte après environ dix pertes consécutives depuis une base de $10, et non six. La falaise en est plus rare : dix pertes de suite sur chance simple ont une probabilité de (19/37)¹⁰ ≈ 0,13%, contre (19/37)⁶ ≈ 1,8% pour six. Mais la falaise est aussi plus haute, car davantage a été misé en chemin, et un seul gain ne l’annule pas.
D’où viennent les nombres ?
D’un problème de lapins. Léonard de Pise, surnommé plus tard Fibonacci, l’a posé dans son Liber Abaci de 1202 : partez d’un couple, laissez chaque couple produire un nouveau couple chaque mois à partir de son deuxième mois, et comptez les couples. La réponse donne 1, 2, 3, 5, 8, 13. Il n’a pas été le premier à trouver la règle. Des savants indiens qui étudiaient le rythme des vers l’avaient écrite plus tôt : Singh (1985) la fait remonter à Virahanka, entre 600 et 800, puis à Gopala et Hemachandra.
Aucun d’eux ne pensait à un cylindre. Les sources utilisées ici ne disent pas qui a le premier misé de l’argent selon cette suite. Ce qu’elles montrent, c’est que son arithmétique et celle de la roulette ne se rencontrent jamais : l’une dit comment les mises grandissent, l’autre dit ce que rend chaque mise.
Combien perd-on après une série de pertes ?
Deux identités rendent le tableau ci-dessus facile à vérifier. Après n pertes de suite, le total perdu est le (n + 2)e nombre de Fibonacci moins 1, ce qui donne 1, 2, 4, 7, 12, 20 et ainsi de suite, et la mise suivante est le (n + 1)e nombre de Fibonacci. Bollman (2021) démontre le même résultat par récurrence pour une suite qui commence par 1, 2, 3, ce qui décale chaque nombre d’un rang. Avec une limite de 500 unités et un départ à 1 unité, la martingale ne peut pas placer sa 10e mise, 512 unités. Le Fibonacci peut placer sa 14e, 377 unités, mais pas sa 15e, 610.
Qu’est-ce qui change sur une douzaine ou une colonne ?
Sur une douzainepariDozenNom anglais de la douzaine, courant sur les tables en ligne. 1–12, 13–24 ou 25–36, paie 2:1.Lire en entier → ou une colonnepariColumnNom anglais de la colonne, courant sur les tables en ligne. Douze numéros dans une colonne verticale du tapis, paie 2:1.Lire en entier →, qui paie 2 contre 1, le recul n’est pas nécessaire. Un gain avec une mise F paie 2F, ce qui dépasse toujours tout ce qui a été perdu avant : chaque gain termine donc la séquence en avance. Le prix à payer est qu’une douzaine ne gagne que 12 fois sur 37, si bien que les longues séries perdantes sont bien plus fréquentes : quatorze pertes de suite sur une douzaine arrivent environ une fois sur 242 tentatives, contre environ une fois sur 11 000 pour le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier →.
Et si vous ne vous arrêtez qu’après deux gains de suite ?
Une autre variante avance d’un cran après chaque coup, gagnant ou perdant, et ne s’arrête qu’après deux gains de suite. Avec n pertes avant les deux gains, le bénéfice est le (n + 1)e nombre de Fibonacci plus 1 : faible quand les gains arrivent tôt, plus grand quand ils arrivent tard, et gagné sur des mises qui ont grossi d’autant. Une paire de gains précoce arrive toujours sur de petites mises ; une paire tardive peut exiger une grosse mise au moment précis où la session va le plus mal.
Simulateur · Fibonacci
2 000 sessions de chances simples avec un capital de jeu de $1 000.
Mise de base $10 · limite de table $500 · 100 coups par session
À quelle fréquence survient une série perdante
Une chance simple sur un cylindre à un seul zéro perd 19 coups sur 37. Chaque ligne donne la probabilité qu’une série donnée de coups soit entièrement perdante, et ce qu’a perdu à ce stade un joueur de Fibonacci, qui avance d’un cran dans la séquence après chaque perte.
| pertes de suite | probabilité | environ 1 sur | déjà perdu | mise suivante |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26,4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13,5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7,0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1,8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0,94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0,48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0,25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0,13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $1 596 | $987 |
La probabilité est 19/37 multiplié par lui-même une fois par perte, à compter d’un coup donné. Une longue session compte beaucoup de coups où une telle série peut commencer, si bien que sur une soirée elle est bien plus probable que ne le suggère une ligne.
Questions
Oui : avancer après un gain, reculer après une perte. Il se comporte comme un ParolistratégieParoliProgression positive : doubler après un gain, repartir de la mise de base après une perte ou après trois gains de suite. Aussi : martingale inversée.Lire en entier → plus lent.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
Jouez la variante qui avance d’un cran dans la suite après chaque coup, gagnant ou perdant, et s’arrête après deux gains de suite : mises 1, 1, 2, 3, 5, 8 et ainsi de suite. Les quatorze premiers résultats sont G P G P P P G P P P G P P G. Où en êtes-vous, et quelle est la mise suivante ?
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Réponse Perte de 22 unitésargentUnitéLa mise de base dans laquelle un système ou un joueur compte. Les progressions sont décrites en unités afin de s’appliquer à n’importe quelle table.Lire en entier →. La mise suivante est de 610 unités, et un gain terminerait la session avec 588 unités de bénéfice.
Les mises sont les quatorze premiers nombres de FibonaccistratégieFibonacciProgression qui suit la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… : un rang en avant après une perte, deux rangs en arrière après un gain.Lire en entier → : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 et 377. Ajoutez les gains et retranchez les pertes : +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
Le dernier résultat était un gain : un gain de plus termine donc la session. La mise suivante est de 610 : un gain laisse +588, une perte laisse −632 et une mise suivante de 987.
La variante finit toujours gagnante, mais ici il lui faut une mise de 610 unités pour y arriver. Avec les règles habituelles, deux crans en arrière après un gain, les mêmes quatorze résultats ne vous laissent qu’une perte de 1 unité, avec une mise suivante de 2. Bollman (2021), qui commence la suite par 1, 2, 3, obtient une perte de 1 unité et une mise suivante de 3. Les règles habituelles perdent moins ici, car chaque gain fait redescendre les mises.
coupmiserésultatcumul11G+121P032G+243P−155P−668P−14713G−1821P−22934P−561055P−1111189G−2212144P−16613233P−39914377G−22Dans la même variante, pourquoi n pertes suivies de deux gains laissent-elles toujours un bénéfice égal au (n + 1)e nombre de Fibonacci plus 1 ?
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Réponse Les n pertes totalisent le (n + 2)e nombre de Fibonacci moins 1, et les deux gains sont les deux nombres suivants, qui ensemble le dépassent du (n + 1)e nombre plus 1.
Notez F₁, F₂, F₃ … pour 1, 1, 2, 3, 5 … Chaque nombre est la somme des deux précédents.
Les pertes : F₁ + F₂ + … + Fₙ. Ajoutez 1 à cette somme, écrit F₂, et elle se replie : F₂ + F₁ = F₃, puis F₃ + F₂ = F₄, et ainsi de suite, jusqu’à ce que toute la somme vaille Fₙ₊₂. Les pertes totalisent donc Fₙ₊₂ − 1.
Les gains sont les deux mises suivantes, Fₙ₊₁ et Fₙ₊₂. Bénéfice : Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. Avec quatre pertes, cela fait F₅ + 1 = 6 unités.
Intermède comique
Le nombre d’or rencontre le panneau de mise maximale.
Sources
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.