Partie commentée : une session de martingale
Dix dollars sur le rouge, doublés après chaque perte, à une table à $500. Coup par coup, y compris le coup qui y met fin.
Une session de martingale simulée à partir d’un capital de jeu de $1 000. Quarante et un petits gains, puis six pertes d’affilée et une septième mise refusée. La session se termine en baisse de $220 après avoir compté $410 d’avance, ce qui est exactement ce que fait le système.
Le plan
Misez $10 sur le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier →. Après une perte, doublez. Après un gain, revenez à $10. Limite de tabletableLimite de tableMise minimale et mise maximale autorisées. C’est le maximum qui arrête les progressions par doublement.Lire en entier → $500, donc les mises sont 10, 20, 40, 80, 160, 320, puis une mise de $640 que la table refusera. Six pertes consécutives font tomber le système ; chaque tentative a une probabilité de (19/37)⁶ ≈ 1,8% d’y aboutir, et une session de 100 coups compte environ 50 tentatives. Attendu : une probabilité d’environ 60% de rupture en 100 coups, et une perte de $630 quand elle survient.
Coups 1–30
MartingalestratégieMartingaleProgression qui double la mise après chaque perte. Voir la section Stratégie pour ce qu’elle fait et ne fait pas.Lire en entier → ordinaire : des séries de une à trois pertes, chacune terminée par un gain qui rapporte net +$10. Au coup 30, nous avons eu 17 gains, chacun fermant un cycle, et nous sommes en avance de $170. La plus grosse mise jusqu’ici était de $80 après trois pertes. On dirait une machine à imprimer des billets de $10.
Coups 31–60
La suite du même, avec un cycle à quatre pertes (mises jusqu’à $160, puis un gain) qui a brièvement mis $310 sur la table et a ressemblé à du courage. Après 60 coups : 41 cycles terminés, $410 d’avance, et le point bas du capital de jeuargentCapital de jeuLa somme totale mise de côté pour jouer. Gérer son capital de jeu, c’est décider quelle part en risquer par pari et par session.Lire en entier → a été de $1 040. L’histogramme de toute session de martingale ressemble à cela pendant l’essentiel de sa durée.
Coups 61–66
P P P P P P. Mises 10, 20, 40, 80, 160, 320 : $630 perdus. La mise suivante serait de $640 ; la limite est de $500. Le système est cassé. Nous pouvons miser $500 (et, si elle gagne, rester $130 en dessous sur le cycle) ou repartir de $10 et accepter la perte. Six noirspariBlackNom anglais du noir, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros noirs.Lire en entier → ou zéroscylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier → d’affilée ont une probabilitémathsProbabilitéMesure de la possibilité d’une issue, de 0 à 1 ou de 0% à 100%. Un numéro : 1/37 = 2,70%.Lire en entier → de 1,8% par cycle. Nous avions parcouru environ 45 cycles. La probabilité d’atteindre ce point quelque part en 45 cycles était d’environ 55%. Ce n’était pas de la malchance ; c’était la médiane.
- p10 −$1 000
- p25 −$1 000
- médiane −$1 000
- p75 +$790
- p90 +$1 690
Les comptes
En avance de $410 après 60 coups, en baisse de $220 après 66. Total misé : environ $2 100 sur 66 coups, contre $660 pour un joueur à $10 constants. La perte attenduemathsPerte attendueL’espérance mathématique multipliée par le montant total misé ; le montant perdu en moyenne sur une session ou une période.Lire en entier → sur $2 100 de volume de misesargentVolume de misesLe montant total misé sur une session ou une période, gains remis en jeu compris. En anglais : turnover, handle, action.Lire en entier → est de $57 ; nos −$220 réels se situent environ un tiers d’écart-typemathsÉcart-typeRacine carrée de la variance ; la distance typique entre un résultat et l’espérance mathématique.Lire en entier → en dessous, ce qui n’a rien de remarquable pour un système dont la distribution a une longue queue à gauche. Si nous nous étions arrêtés au coup 60 avec un objectif de gainstratégieObjectif de gainUn objectif de bénéfice fixé d’avance auquel vous mettez fin à la session.Lire en entier → de $400, nous serions repartis avec $410 d’avance, et la session suivante aurait porté les mêmes 1,8% par cycle.
Ce que montre la session
La martingale transforme un pari à 48,65% en une séquence qui gagne 98% de ses cycles et perd 63 unitésargentUnitéLa mise de base dans laquelle un système ou un joueur compte. Les progressions sont décrites en unités afin de s’appliquer à n’importe quelle table.Lire en entier → dans les 2% restants. Elle ne change pas la perte attendue par dollar ; elle multiplie les dollars. Le joueur à mise constante à côté de nous a misé trois fois moins et a perdu, en moyenne, trois fois moins. Le joueur qui applique ce système pendant un an gagnera la plupart des soirs et perdra l’année.
À quelle fréquence survient une série perdante
Une chance simple sur un cylindre à un seul zéro perd 19 coups sur 37. Chaque ligne donne la probabilité qu’une série donnée de coups soit entièrement perdante, et ce qu’a perdu à ce stade un joueur de martingale, qui double après chaque perte.
| pertes de suite | probabilité | environ 1 sur | déjà perdu | mise suivante |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
La probabilité est 19/37 multiplié par lui-même une fois par perte, à compter d’un coup donné. Une longue session compte beaucoup de coups où une telle série peut commencer, si bien que sur une soirée elle est bien plus probable que ne le suggère une ligne.
Questions
Neuf pertes la font tomber au lieu de six : 0,25% par cycle, et $5 110 perdus quand cela arrive. Précipice plus rare, précipice plus haut, même −2,70%.
Elle aurait gagné dans 48,65% des cas et laissé le cycle à −$130 de toute façon. Il n’y a pas de bon coup après une martingale brisée ; il n’y a que la mise que vous choisissez ensuite.
Oui, pour cette session. Pas pour la moyenne sur l’ensemble des sessions.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
À une table de $1 à $500, un joueur de martingalestratégieMartingaleProgression qui double la mise après chaque perte. Voir la section Stratégie pour ce qu’elle fait et ne fait pas.Lire en entier → commence avec $1 sur le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier →, sur un cylindre à un seul zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier →. Combien de pertes de suite arrêtent le doublement, combien a-t-il perdu à ce moment-là, et à quelle fréquence cela arrive-t-il ?
Afficher la solution
Réponse Neuf pertes : $511 perdus, et la mise suivante serait de $512. Cela arrive une fois sur environ 403 séquences.
Les mises sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 et 256 : $511 en tout. La dixième serait de $512, au-dessus de la limite. Une mise de $500 qui gagne laisse encore le joueur en perte de $11 ; si elle perd, il est en perte de $1 011.
Le rouge perd avec une probabilité de 19/37 : neuf pertes de suite ont donc une probabilité de (19/37)⁹ ≈ 0,25%, une fois sur environ 403 séquences. Chaque séquence bouclée gagne $1 : le joueur peut donc s’attendre à environ $402 de petits gains avant la perte de $511, et les 2,70% de tout ce qui a été misé restent perdus en moyenne.
Sur un cylindre à double zéro, la probabilité est de (20/38)⁹, une fois sur environ 323. Bollman (2021) imprime « environ 1 sur 833 », ce qui est (18/38)⁹, la probabilité de neuf gains de suite.
Intermède comique
Quarante et un petits gains et une grosse perte. Voilà tout le système.
Sources
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”