Problème : la limite de table

Le problème

Un joueur mise $10 sur le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier → et double après chaque perte, puis repart de la mise de base après un gain. Le maximum de la table est de $500. (a) Combien de pertes consécutives brisent la progressionstratégieProgressionToute règle qui modifie la mise en fonction des résultats précédents. Les progressions négatives l’augmentent après les pertes, les positives après les gains.Lire en entier → ? (b) Quelle est la probabilitémathsProbabilitéMesure de la possibilité d’une issue, de 0 à 1 ou de 0% à 100%. Un numéro : 1/37 = 2,70%.Lire en entier → par cycle ? (c) Que perd-on à la rupture ? (d) Comment une limite de $5 000 change-t-elle les réponses ? (e) Une limite quelconque rend-elle le système rentable ?

Limites de table à la roulette

Solutions (a)–(c)

Mises : 10, 20, 40, 80, 160, 320. La septième serait de 640 > 500, donc six pertes la brisent. (b) p(perte) = 19/37 sur le rouge ; (19/37)⁶ = 0,0183, soit environ 1,8% par cycle. Un cycle dure en moyenne environ deux coups, donc une session de 100 coups compte à peu près 50 cycles et p(au moins une rupture) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, soit 63 unitésargentUnitéLa mise de base dans laquelle un système ou un joueur compte. Les progressions sont décrites en unités afin de s’appliquer à n’importe quelle table.Lire en entier → de base, contre les $10 que le cycle cherchait à gagner.

Solution (d)

À $5 000 : les mises jusqu’à 2 560 sont permises ; la dixième mise, 5 120, est refusée. Neuf pertes la brisent : (19/37)⁹ ≈ 0,25% par cycle, soit environ 11% des sessions de 100 coups. Perte à la rupture : 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Le joueur a acheté une catastrophe plus rare au prix d’une plus grande. Sur de nombreuses sessions, le coût attendu des ruptures est p × perte ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 par cycle à la limite de $500 et 0,0025 × 5 110 = $12,8 à $5 000 ; c’est, aux arrondis près, le même nombre, et c’est la perte attenduemathsPerte attendueL’espérance mathématique multipliée par le montant total misé ; le montant perdu en moyenne sur une session ou une période.Lire en entier → du cycle moins les $10 que gagnent les cycles gagnants.

Solution (e)

Non. Perte attendue par cycle = (mise totale attendue dans le cycle) / 37, à n’importe quelle limite, parce que chaque pari vaut −1/37 de lui-même. La limite ne décide que de la manière dont la perte se répartit entre de nombreux petits gains et quelques grosses pertes. Sans limite et avec un capital de jeuargentCapital de jeuLa somme totale mise de côté pour jouer. Gérer son capital de jeu, c’est décider quelle part en risquer par pari et par session.Lire en entier → infini, la progression « fonctionnerait », au sens où elle ne se briserait jamais, et elle miserait aussi une somme illimitée avec une perte attendue de 2,70% de cette somme illimitée. Ce n’est pas la limite de tabletableLimite de tableMise minimale et mise maximale autorisées. C’est le maximum qui arrête les progressions par doublement.Lire en entier → qui empêche la martingalestratégieMartingaleProgression qui double la mise après chaque perte. Voir la section Stratégie pour ce qu’elle fait et ne fait pas.Lire en entier → de fonctionner. C’est l’arithmétique.

Deux vraies tables

L’exemple de Thorp est une table à $1 avec un maximum de $1 000, où un joueur espère gagner $30 pour son dîner, un dollar à la fois. Les mises 1, 2, 4… 512 permettent dix paris, si bien que dix pertes de suite brisent la progression : une fois tous les 785 cycles sur un cylindre européen (une fois tous les 613 sur un cylindre américain), pour un coût de $1 023. Trente cycles réussissent tous 96,2% du temps. Dans les 3,8% restants, la soirée perd environ $1 000, et son résultat moyen est de −$9,17, soit exactement 1/37 des $339 que les trente cycles misent en moyenne. Une table à $5 avec un maximum de $2 000 ne change rien : les mises jusqu’à $1 280 permettent neuf paris, et la rupture survient une fois tous les 403 cycles sur un cylindre européen (une fois tous les 323 sur un cylindre américain) et coûte $2 555.

Un joueur riche

Donnez à la progression un gros capital de jeu plutôt qu’une limite basse : 1 000 unités, une mise de base d’une unité et 1 000 coups sur le rouge, en repartant d’une unité chaque fois que le doublement suivant dépasse ce qui reste. Nous avons simulé un million de soirées de ce type. Sur un cylindre européen, 52% finissent en gain, 21% perdent tout, et le résultat moyen est de −124 unités. Même dans un jeu sans zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier →, où chaque pari est équitable, environ 60% seulement finiraient en gain. La soirée habituelle est un petit gain ; la moyenne est payée par les soirées qui finissent à zéro.

La leçon

Les casinos fixent des limites pour plafonner leur propre variancemathsVarianceUne mesure de la dispersion des résultats autour de l’espérance mathématique. Élevée pour le plein, faible pour les chances simples.Lire en entier →, non pour déjouer les systèmes. Déjouer la martingale est un effet secondaire dont ils se réjouissent, et l’arithmétique la déjouerait de toute façon. Un joueur qui pense que la limite est le problème a repéré la falaise et l’a prise pour la pente.

Formule

Questions