Test du khi-deux

Le calcul

L’effectif attendu par casematérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier → est n/37. Pour chaque case, on élève au carré l’écart entre l’effectif observé et l’effectif attendu, on divise par l’effectif attendu, puis on additionne les 37 termes. Un cylindre non biaisé donne en moyenne des valeurs autour de 36 (les degrés de libertélaboratoireDegrés de libertéLe nombre de valeurs indépendantes dans une statistique. Pour un test du khi-deux sur 37 cases, il vaut 36, parce que la somme des effectifs doit être égale au total.Lire en entier →), avec un écart-typemathsÉcart-typeRacine carrée de la variance ; la distance typique entre un résultat et l’espérance mathématique.Lire en entier → d’environ 8,5. Au-dessus de 51,0, le résultat est significatif au seuil de 5% ; au-dessus de 58,6, à 1%. L’Analyseur de biais du cylindre calcule la statistique et la valeur plaboratoireValeur pLa probabilité d’observer un écart au moins aussi grand que celui constaté si le cylindre n’était pas biaisé.Lire en entier → exacte à partir de la fonction gamma incomplète régularisée.

Un exemple détaillé

1 000 coups. Trente-six cases sortent entre 20 et 34 fois ; la case 8 sort 41 fois. L’effectif attendu est 27,03. Le terme de la case 8 vaut à lui seul (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Supposons que les 36 autres termes totalisent 38 (valeur typique). χ² = 45,2 à 36 ddl, p ≈ 0,14. Ce n’est pas significatif : un cylindre non biaisé fait cela une fois sur sept. La case 8 est une piste, pas une conclusion, et la réponse est de relever encore mille coups.

Hypothèses

Des coups indépendantsmathsCoups indépendantsChaque coup a les mêmes probabilités, quel que soit l’historique. C’est la base de tous les calculs de ce site.Lire en entier →, et des effectifs attendus d’au moins 5 par case, ce qui impose n ≥ 185 pour que le test soit simplement valide, et bien davantage pour qu’il soit utile. Regrouper des coups issus de plusieurs cylindres viole la première hypothèse dans son esprit (on teste un mélange, pas un cylindre). Un effet de signature de croupier la violerait dans les faits, et gonflerait χ² sans qu’aucune case soit physiquement favorisée.

Signatures de croupierCoups indépendants

Pearson et Monte-Carlo

Karl Pearson a publié le test en 1900, et l’un de ses premiers exemples détaillés portait sur 26 306 coups de roulette relevés à Monte-Carlo, qu’il a jugés beaucoup trop irréguliers pour relever du hasard, déclarant que « la roulette de Monte-Carlo… n’est pas un jeu de hasard ». D’autres auteurs ont conclu plus tard que les journalistes qui avaient relevé les coups pour un journal en avaient inventé un grand nombre, ce qui est une leçon à part entière sur l’origine des données.

Roulette de Monte-Carlo

Un vrai test : les cylindres automatiques de Las Vegas

Les joueurs soupçonnent souvent un cylindre automatique d’écarter la billematérielBilleLa petite bille lancée sur la piste dans le sens contraire à celui du rotor. Les billes modernes sont en ivorine ou en Téflon, 18–21 mm.Lire en entier → des grosses mises. En 2017, Wizard of Odds a mis ce soupçon à l’épreuve sur les cylindres à double zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier → sans croupier d’Interblock, à Las Vegas, en misant sur un arc de cinq numéros voisins, le genre de pari que fait un chronométreur de cylindre. En 299 coups, l’arc a gagné 29 fois contre 39,3 attendues, un déficit qu’un cylindre non biaisé produit environ 4% du temps. Le khi-deux sur les 38 cases valait 45,29 pour 37 degrés de liberté : p = 16,5%. Un second échantillon de 1 204 coups sur trois cylindres a donné χ² = 34,79, p = 57%, et aucun arc, quelle que soit la taille essayée, n’était significatif. Les deux échantillons réunis, 1 503 coups, ont donné χ² = 41,75, p = 27%. Verdict : aucun indice que la bille soit dirigée. Le premier échantillon seul paraissait suspect ; c’est le second qui a tranché.

Au-delà du khi-deux

Pour une seule case suspecte, un test binomial est plus puissant. Pour un arc suspect, le test z par secteurcylindreSecteurUn arc continu de cases sur le cylindre, par opposition à un groupe de numéros sur le tapis.Lire en entier → de la page Analyse par secteurs. Le khi-deux est le test global : il dit que quelque chose cloche sans dire quoi. Utilisez-le d’abord, puis regardez.

Analyse par secteurs

Formule

Questions