Sophisme du joueur
La croyance qu’un résultat est « en retard » parce qu’il n’est pas sorti depuis un moment.
Après dix rouges, la probabilité du noir reste de 18/37. Le cylindre ne garde aucune trace et ne doit rien à personne.
Le sophisme
Si le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier → est sorti dix fois, bien des joueurs estiment que le noirpariBlackNom anglais du noir, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros noirs.Lire en entier → est « en retard » et misent en conséquence. D’autres jugent le rouge « chaud » et misent dessus. Les deux raisonnent à partir d’une séquence déjà terminée pour un coup qui n’a pas encore eu lieu. La billematérielBilleLa petite bille lancée sur la piste dans le sens contraire à celui du rotor. Les billes modernes sont en ivorine ou en Téflon, 18–21 mm.Lire en entier → ne sait pas ce qu’ont donné les dix derniers coups ; les casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier → ont la même taille qu’il y a une heure ; la probabilitémathsProbabilitéMesure de la possibilité d’une issue, de 0 à 1 ou de 0% à 100%. Un numéro : 1/37 = 2,70%.Lire en entier → du noir est de 18/37, comme toujours.
Pourquoi cela paraît vrai
À long terme, les proportions de rouge et de noir convergent bien vers 18/37 chacune. La loi des grands nombresmathsLoi des grands nombresLa moyenne de résultats indépendants converge vers l’espérance mathématique à mesure que le nombre d’essais augmente.Lire en entier → le garantit. Mais la convergence se fait par dilution, non par correction : après 1 000 coups de plus, les dix rouges supplémentaires ne sont plus qu’une erreur d’arrondi dans la proportion, non parce que le noir a rattrapé son retard, mais parce que l’échantillon a grandi. Aucun mécanisme ne rend le noir plus probable, et la loi des grands nombres n’en exige aucun.
Monte-Carlo, 18 août 1913
Le noir est sorti 26 fois de suite à une table du Casino de Monte-Carlo. À partir du quinzième noir environ, les joueurs se sont rués sur le rouge, doublant et redoublant, chaque coup étant « plus certain » que le précédent. Le casino a gagné des millions de francs. La série avait une probabilité de 1 sur 137 millions à partir du premier noir, et la probabilité qu’elle survienne un jour quelque part dans les casinos du monde était pratiquement égale à un. C’est la raison pour laquelle le sophisme du joueur est aussi appelé sophisme de Monte-Carlo.
Rien de remarquable. Arrive une fois sur 44.
Les joueurs commencent à remarquer. Le rouge est « en retard ».
La table est bondée. Les mises sur le rouge sont doublées après chaque perte.
Des fortunes perdues. Chaque nouveau noir rend le rouge plus certain.
La série s’arrête. Le casino a gagné des millions de francs aux dépens de joueurs qui misaient contre une série qui ne pouvait pas « savoir » qu’elle en était une.
La main chaude
Miser sur une couleur parce qu’elle est en série, c’est la même erreur à l’envers : on attend que la série continue au lieu de s’arrêter. Les psychologues parlent de main chaudemytheMain chaudeLa croyance qu’une série de gains, ou d’un même résultat, en rend un autre plus probable. Au cylindre, c’est le sophisme du joueur à l’envers.Lire en entier →, d’après une étude de 1985 de Gilovich, Vallone et Tversky qui cherchait des séries dans les tirs au basket et n’en trouvait aucune au-delà du hasard. En 2018, Miller et Sanjurjo ont montré que le test lui-même était faussé : sur un court relevé, la part de réussites juste après une réussite ressort en moyenne inférieure au taux global du tireur, si bien qu’un joueur sans aucune main chaude paraît légèrement froid. Une fois corrigées, les mêmes données montrent une main chaude modeste. Une personne peut s’échauffer ; un cylindre n’a pas de forme à tenir. Certains joueurs tiennent les deux croyances à la fois : une série continue jusqu’à devenir « trop longue », puis s’arrête. Sur un cylindre non biaisé, chaque version a la même espérance mathématiquemathsEspérance mathématiqueLe résultat moyen par pari à long terme. −1/37 de la mise pour chaque pari standard de la roulette européenne.Lire en entier → que choisir une couleur à pile ou face : −2,70% de la mise.
À une vraie table
Croson et Sundali (2005) ont visionné 18 heures de vidéosurveillance d’une table à double zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier → d’un grand casino de Reno : 139 joueurs, 24 131 mises. Sur les chances simplespariChance simpleRouge/noir, impair/pair, passe/manque. 18 numéros, paie 1:1.Lire en entier →, les joueurs se partageaient à peu près à égalité entre suivre les courtes séries et les contrer. Après cinq résultats identiques d’affilée, ils misaient plutôt contre la série, et après six ou plus, 85% de leurs mises allaient à l’autre issue. Les mêmes joueurs montraient la main chaude à leur propre sujet : après un gain sur les numéros, ils couvraient en moyenne 13,6 numéros au coup suivant, contre 9,2 après une perte. Leur cylindre ne montrait aucun signe de biais : rien de tout cela ne changeait donc ce que chacun pouvait attendre.
Hors du casino
La même attraction se manifeste là où se prennent de vraies décisions. Clotfelter et Cook (1993) ont suivi le jeu de numéros quotidien du Maryland : l’argent misé sur un numéro chutait nettement dès qu’il était tiré et mettait des mois à revenir, alors que le tirage n’a pas de mémoire. Chen, Moskowitz et Shue (2016) l’ont retrouvée chez des professionnels. Aux États-Unis, les juges de l’asile étaient jusqu’à 3,3 points de pourcentage plus enclins à rejeter un dossier s’ils avaient accordé le précédent. Les arbitres de baseball étaient 1,5 point moins enclins à annoncer une prise après en avoir annoncé une, et plus du double sur les lancers serrés. Dans une expérience de terrain avec des chargés de prêts payés au forfait, jusqu’à 9% des décisions étaient ainsi inversées. Les dossiers arrivaient dans un ordre aléatoire : la dernière décision ne disait donc rien de la suivante, pas plus que le dernier coup ne dit quoi que ce soit du suivant.
Le sophisme inverse du joueur
Le philosophe Ian Hacking (1987) a nommé une troisième version. Quelqu’un entre dans une pièce, voit une paire de dés donner un double six et en conclut qu’ils ont déjà dû être lancés bien des fois. Chaque lancer a la même probabilité de donner un double six, que ce soit le premier de la soirée ou le millième : ce qu’il a vu ne dit donc rien de la durée de la partie. À la roulette, c’est le joueur qui arrive devant un tableau affichant huit rouges et décide que la table a dû tourner des heures pour les produire. Le sophisme ordinaire projette le passé sur le coup suivant ; celui-ci projette une vue rare sur un passé que personne n’a vu.
Un psychologue qui y croyait
L’erreur a eu des défenseurs savants. Le psychologue allemand Karl Marbe a dépouillé quatre registres de 49 152 naissances chacun, constaté que la plus longue suite de garçons ou de filles d’affilée était de 17, et en a conclu que les longues séries sont plus rares que le hasard ne le permet, si bien qu’une série rendrait l’autre issue plus probable. Le hasard seul dit autre chose : sur 196 608 naissances, une série de 17 ou plus apparaît environ quatre fois sur cinq. Marbe avait trouvé exactement l’allure d’une suite aléatoire. Epstein (2013) raconte le cas ; Probabilité des séries en donne la version roulette.
Là où le sophisme ne s’applique pas
Si le cylindre était physiquement biaisé, les coups passés seraient instructifs, parce qu’ils seraient des indices sur les cases et non sur la chance. C’est le sujet du Laboratoire, et il faut des milliers de coups d’un cylindre identifié pour en tirer quoi que ce soit. Pour une série de dix rouges sur un cylindre inconnu, l’explication par un biais est bien moins probable que celle du hasard.
Questions
Non. Il s’applique à tout événement indépendant répété : dés, pièces, numéros de loterie.
Les proportions seront proches. Votre résultat sera quand même d’environ −2,70% de ce que vous aurez misé.
La loi des moyennes n’existe pas. Il existe une loi des grands nombres, et elle fonctionne par dilution.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
Après 10 lancers, une pièce a donné 7 piles et 3 faces. Après 1 000 lancers, elle a donné 517 piles et 483 faces. Les faces ont-elles rattrapé leur retard ?
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Réponse Non. L’écart est passé de 4 à 34. Seul le rapport s’est rapproché de l’égalité.
Le rapport des piles aux faces est tombé de 7/3, environ 2,33, à 517/483, environ 1,07. C’est la loi des grands nombresmathsLoi des grands nombresLa moyenne de résultats indépendants converge vers l’espérance mathématique à mesure que le nombre d’essais augmente.Lire en entier → à l’œuvre.
L’écart entre les deux, lui, a grandi, de 4 à 34. Avec une pièce non truquée, un écart d’environ 30 après 1 000 lancers est banal : l’écart typique croît à peu près comme la racine carrée du nombre de lancers, tandis que le rapport se rapproche de 1.
Rien n’a ramené les faces. L’excédent initial de piles a été dilué par les 990 lancers suivants, pas corrigé.
Lancez une pièce quatre fois et ne regardez que les lancers qui suivent immédiatement un pile. Quelle part d’entre eux donne pile ? Calculez-la pour chacune des 16 séquences possibles et faites la moyenne de ces parts. Est-ce 50% ?
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Réponse Non. C’est 17/42, environ 40,5%. Vue ainsi, une pièce non truquée semble se refroidir après un pile.
Listez les 16 séquences (P pour pile, F pour face). Deux d’entre elles, FFFF et FFFP, n’ont aucun pile parmi les trois premiers lancers : rien ne suit un pile, il en reste donc 14.
Dans chacune, prenez les lancers qui suivent un pile et cherchez la part de piles. PPPP donne 3 sur 3. PPPF donne 2 sur 3. PFPF donne 0 sur 2. Sur l’ensemble des 14 : six séquences donnent 0, quatre donnent 1/2, une donne 2/3 et trois donnent 1 (PPPP, FPPP et FFPP).
Additionnez les parts : 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Divisez par 14 : 17/42 ≈ 40,5%.
Aucun lancer ne favorise face : chacun est à 50–50. L’écart vient de la moyenne faite séquence par séquence : une séquence pleine de piles offre beaucoup de lancers à examiner mais ne compte qu’une fois, autant qu’une séquence qui n’en a qu’un. Miller et Sanjurjo (2018) ont montré que l’étude de 1985 sur la main chaude avait mesuré ses basketteurs de cette façon, si bien que des joueurs qui ne semblaient pas plus enclins aux séries que le hasard l’étaient en fait quelque peu.
Intermède comique
Dilution, pas correction. Le cylindre ne doit rien à personne.
Sources
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”