Écart-type
La racine carrée de la variancemathsVarianceUne mesure de la dispersion des résultats autour de l’espérance mathématique. Élevée pour le plein, faible pour les chances simples.Lire en entier → : l’écart typique entre un résultat et son espérance.
Pour $1 misé, σ vaut 5,84 pour un plein et 1,00 pour le rouge. Multipliez par la mise et par la racine carrée du nombre de coups pour une session.
Règle empirique
Environ deux tiers des sessions tombent à moins d’un σ de l’espérance et 95% à moins de deux. Pour 100 coups sur le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier → à $10 (attendu −$27, σ = $100), la plupart des sessions se situent entre −$127 et +$73, et presque toutes entre −$227 et +$173. Un résultat hors de cette plage ne prouve rien, sinon qu’une session sur vingt s’y retrouve.
Pourquoi √N
La perte attenduemathsPerte attendueL’espérance mathématique multipliée par le montant total misé ; le montant perdu en moyenne sur une session ou une période.Lire en entier → croît proportionnellement à N ; la dispersion croît proportionnellement à √N. Pour de petits N, la dispersion domine et les sessions sont des pile ou face légèrement penchés. Pour de grands N, la perte dépasse la dispersion. Le point de croisement, où la perte attendue égale un écart-typemathsÉcart-typeRacine carrée de la variance ; la distance typique entre un résultat et l’espérance mathématique.Lire en entier →, est à N = (σ/avantage)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 coups en chance simple et (5,84/0,027)² ≈ 46 800 pour les pleinspariStraight upNom anglais du plein, courant sur les tables en ligne. Un seul numéro, paie 35:1.Lire en entier →. En dessous de ces nombres, la chance décide ; au-dessus, c’est l’avantage.
L’utiliser
Pour juger si une session était inhabituelle, calculez (résultat − EV)/σ. Un joueur de rouge à $10 qui termine 100 coups à +$150 est à (150 + 27)/100 = 1,77σ, un résultat qui arrive une fois sur 25 : chanceux, pas remarquable. Un joueur de plein à +$150 est à 0,3σ : une soirée ordinaire. Le même résultat en dollars signifie des choses différentes selon le pari.
Erreur-type d’une proportion
La même arithmétique vous dit combien de coups il faut pour voir l’avantage dans les données. L’erreur-type d’une proportion de gains observée est √(p(1 − p)/N). Pour le rouge avec N = 1 000 : √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. L’écart entre une pièce équilibrée et le rouge est de 1,35%, donc après 1 000 coups vous ne pouvez toujours pas les distinguer avec confiance. Après 10 000, l’erreur-type est de 0,5% et vous le pouvez. C’est aussi pourquoi la détection d’un biais du cylindre exige tant de coups.
Une mise en garde sur l’asymétrie
Les résultats en plein sont loin d’être distribués normalement sur une session courte : la plupart des sessions sont une descente régulière de −$10 par coup avec des sauts occasionnels de +$350. La règle de ±1σ décrit correctement la dispersion mais mal la forme tant que N n’atteint pas quelques centaines. Pour les chances simplespariChance simpleRouge/noir, impair/pair, passe/manque. 18 numéros, paie 1:1.Lire en entier →, l’approximation normale est bonne à partir d’environ 30 coups.
Formule
Questions
Elle prouve que vous avez joué environ 40 sessions, ou que vous étiez dans la chanceuse sur quarante. Recommencez.
Elle oscille de moins en moins : l’erreur-type de la moyenne est σ/√N. À N = 10 000, elle vaut 1% de la mise.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
Sur 100 coups d’un cylindre européen, une unitéargentUnitéLa mise de base dans laquelle un système ou un joueur compte. Les progressions sont décrites en unités afin de s’appliquer à n’importe quelle table.Lire en entier → sur le rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier → est en bénéfice avec au moins 51 gains, et une unité en pleinpariStraight upNom anglais du plein, courant sur les tables en ligne. Un seul numéro, paie 35:1.Lire en entier → est en bénéfice si son numéro sort au moins 3 fois. Estimez les deux probabilités avec la courbe en cloche, puis comparez-les aux réponses exactes.
Afficher la solution
Réponse Rouge : la courbe en cloche donne 35,6% et la réponse exacte est 35,5%. Plein : la courbe en cloche donne 55,0% et la réponse exacte est 50,9%. Le raccourci fonctionne pour le rouge et se trompe pour le numéro seul.
Rouge : le nombre de gains vaut en moyenne 100 × 18/37 = 48,6, avec un écart-type de √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Être en bénéfice veut dire 51 gains ou plus ; le point milieu, 50,5, est 0,37 écart-type au-dessus de la moyenne, et la courbe en cloche place 35,6% au-delà. La somme des probabilités exactes de 51, 52 … 100 gains donne 35,5%.
Plein : le numéro sort en moyenne 100/37 = 2,70 fois, avec un écart-type de √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Trois sorties ou plus veut dire au-dessus de 2,5, soit 0,12 écart-type sous la moyenne : 55,0% selon la courbe en cloche. Exactement, c’est 1 moins les probabilités de 0, 1 et 2 sorties, 6,5% + 17,9% + 24,7%, ce qui laisse 50,9%.
La courbe en cloche a besoin de nombreux résultats des deux côtés de la moyenne. Le rouge en a après 100 coups ; un numéro qui sort moins de trois fois en moyenne n’en a pas. La courbe accorde même 8,7% à « aucune sortie », alors que la vraie probabilité est de 6,5%. Taylor (2021) place de la même façon la loi binomiale et la courbe en cloche côte à côte.
Intermède comique
Une session sur vingt sort des deux sigmas. Il y a toujours quelqu’un dans la queue.
Sources
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.