Probabilité des séries
Les longues séries d’une même couleur sont courantes. Elles ne signifient rien pour le coup suivant.
Cinq rouges de suite : 2,7%. Dix : 0,074%. Sur une session de 200 coups, une série de six de la même couleur apparaît plus d’une fois sur deux.
À quelle fréquence survient une série perdante
Une chance simple sur un cylindre à un seul zéro perd 19 coups sur 37. Chaque ligne donne la probabilité qu’une série donnée de coups soit entièrement perdante, et ce qu’a perdu à ce stade un joueur de martingale, qui double après chaque perte.
| pertes de suite | probabilité | environ 1 sur | déjà perdu | mise suivante |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
La probabilité est 19/37 multiplié par lui-même une fois par perte, à compter d’un coup donné. Une longue session compte beaucoup de coups où une telle série peut commencer, si bien que sur une soirée elle est bien plus probable que ne le suggère une ligne.
Série isolée
La probabilitémathsProbabilitéMesure de la possibilité d’une issue, de 0 à 1 ou de 0% à 100%. Un numéro : 1/37 = 2,70%.Lire en entier → que les k prochains coups soient tous rougespariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier → est (18/37)ᵏ. Deux : 23,7%. Cinq : 2,7%. Dix : 0,074%, environ 1 sur 1 350. Vingt : 1 sur 1,8 million. Vingt-six, le record de Monte-Carlo : 1 sur 137 millions. Ce sont les probabilités d’une série précise commençant à un coup précis, ce qui est la question que presque personne ne se pose réellement.
Sur une session
La question que les gens ont en tête est « une série de k apparaîtra-t-elle quelque part dans ma session ? », et la réponse est bien plus grande que (18/37)ᵏ, parce qu’une session de 200 coups offre près de 200 endroits où une série peut commencer. Une série de six ou plus de la même couleur, rouge ou noirpariBlackNom anglais du noir, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros noirs.Lire en entier →, survient dans une session de 200 coups environ 94% du temps ; huit ou plus environ 47% ; dix ou plus environ 14%. Si vous nommez la couleur à l’avance, les probabilités tombent à environ 75%, 27% et 7%. Un joueur qui reste une soirée verra de longues séries chaque soirée.
Pourquoi la martingale s’y intéresse
Toute progressionstratégieProgressionToute règle qui modifie la mise en fonction des résultats précédents. Les progressions négatives l’augmentent après les pertes, les positives après les gains.Lire en entier → négative a une longueur de série qui la brise : six pertes avec une base de $10 et une limite de $500, dix pour FibonaccistratégieFibonacciProgression qui suit la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… : un rang en avant après une perte, deux rangs en arrière après un gain.Lire en entier →, cinq pour le triplement sur les douzainespariDozenNom anglais de la douzaine, courant sur les tables en ligne. 1–12, 13–24 ou 25–36, paie 2:1.Lire en entier →. La probabilité d’une série perdante de six en chance simple est (19/37)⁶ ≈ 1,8% par tentative, et une session de 200 coups contient peut-être 100 tentatives, si bien que la rupture survient dans environ quatre sessions sur cinq de cette longueur. Les probabilités de séries expliquent pourquoi la falaise n’est pas rare.
Numéros chauds et froids
La même arithmétique s’applique aux pleinspariStraight upNom anglais du plein, courant sur les tables en ligne. Un seul numéro, paie 35:1.Lire en entier →. Sur 300 coups, le nombre attendu par numéro est de 8,1 ; l’écart-typemathsÉcart-typeRacine carrée de la variance ; la distance typique entre un résultat et l’espérance mathématique.Lire en entier → est d’environ 2,8. Un numéro sortira 15 fois et un autre 2 fois par le seul hasard, à chaque fois. Un tableau des résultats qui met en évidence les numéros « chauds » met en évidence le haut d’une distribution normale. Le Laboratoire explique combien de coups il faut avant qu’un numéro chaudmytheNuméro chaudUn numéro qui est sorti plus souvent qu’attendu récemment. Sur un cylindre non biaisé, il ne prédit rien.Lire en entier → veuille dire quelque chose (des milliers, sur un seul cylindre identifié).
L’indépendance est tout l’enjeu
Une série de dix rouges ne rend pas le noir plus probable, et ne rend pas non plus le rouge plus probable. Les deux valent 18/37. Les séries sont une propriété des suites aléatoires et seraient suspectes par leur absence : une suite de 200 coups sans série de plus de quatre serait un indice de truquage bien plus fort qu’une suite avec une série de douze.
Formule
Questions
Les 26 noirs de Monte-Carlo le 18 août 1913 sont les plus célèbres. 32 rouges de suite ont été signalés dans un casino américain en 1943. Les deux sont compatibles avec le hasard, vu le nombre de coups que jouent les casinos.
C’est 18/37 dans les deux cas. Misez ce que prévoit votre plan, ou rien.
Non. Un biais se manifeste par certaines casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier → qui sortent plus souvent sur des milliers de coups, pas par des séries d’une couleur.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
Combien de coups d’un cylindre européen faut-il, en moyenne, pour que chacun des 37 numéros soit sorti au moins une fois ?
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Réponse Environ 155 coups en moyenne ; la médiane est de 147.
Comptez l’attente un nouveau numéro à la fois. Le premier coup montre toujours un nouveau numéro. Une fois 1 numéro vu, 36 casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier → sur 37 sont nouvelles : le nouveau numéro suivant demande donc 37/36 coups en moyenne. Une fois k numéros vus, il en demande 37/(37 − k).
Additionnez les attentes : 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 coups.
L’essentiel de cette attente se trouve à la fin. Le dernier numéro demande à lui seul 37 coups en moyenne, et les cinq derniers environ 85. Sur un cylindre américain, le même calcul donne environ 161. C’est le problème du collectionneur de vignettes ; Wizard of Odds donne la même moyenne.
Sur 37 coups d’un cylindre européen, un coup par case, combien de numéros différents devez-vous vous attendre à voir ?
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Réponse Environ 23,6. À peu près un tiers des numéros, environ 13, ne sortent pas du tout.
Prenez un numéro, disons le 17. À chaque coup, il ne sort pas avec une probabilité de 36/37 : il manque donc les 37 coups avec une probabilité de (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Tous les numéros ont la même probabilité : en moyenne, 37 × 0,363 ≈ 13,4 numéros manquent et 37 − 13,4 ≈ 23,6 sortent, beaucoup d’entre eux deux fois ou plus.
Les joueurs de roulette appellent cela la loi des tiers. Ce n’est pas une loi, seulement l’arithmétique des répétitions : sur une série aussi longue que le cylindre, environ un tiers des numéros restent absents, sur un cylindre non biaisé comme sur un autre. Sur 38 cases, la part est aussi de (37/38)³⁸ ≈ 0,363 ; pour un grand cylindre, elle se stabilise près de 1/e ≈ 0,368.
Un ami vous montre deux listes de 50 couleurs, rougepariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier → ou noirpariBlackNom anglais du noir, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros noirs.Lire en entier →, censées provenir d’un cylindre dont on a écarté les zéroscylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier →. L’une change de couleur 25 fois et sa plus longue série est de six. L’autre change 35 fois et ne dépasse jamais trois. Laquelle a été inventée ?
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Réponse La seconde. Une vraie liste change environ 24 ou 25 fois. Une liste avec 35 changements apparaît environ une fois sur 500 listes, et une liste sans aucune série de plus de trois environ deux fois sur 100.
Chaque nouvelle couleur répète la précédente ou en change, moitié-moitié, si bien que 49 occasions de changer donnent 24,5 changements en moyenne, à environ 3,5 près. Trente-cinq, c’est trois de ces écarts au-dessus de la moyenne ; un cylindre non biaisé produit autant de changements environ une fois sur 500 listes.
Les séries racontent la même histoire. Une vraie liste de 50 contient une série de quatre ou plus environ 98% du temps, et sa plus longue série est le plus souvent de cinq ou six.
Les gens à qui l’on demande d’inventer une liste aléatoire changent trop souvent, parce qu’une série de quatre ou cinq leur semble former un motif. Taylor (2021) montre le même indice dans des listes de pile ou face inventées par des étudiants : le vrai hasard fait plus de séries qu’on ne le croit.
Un livre d’histoires de casino parle d’un joueur dont le numéro est sorti cinq fois de suite et appelle cela un record. Est-ce si rare sur un cylindre européen ? Et à quelle fréquence cela devrait-il arriver quelque part dans un casino de 20 tables qui tournent chacune 40 coups à l’heure, jour et nuit ?
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Réponse Un numéro désigné cinq fois de suite : 1 sur 69 millions. Un numéro quelconque qui ressort quatre fois après sa première apparition : 1 sur 1,87 million. Ce casino fait environ 7 millions de coups par an, il devrait donc voir une série de cinq trois ou quatre fois par an.
Un numéro désigné sort avec une probabilité de 1/37 à chaque coup, donc cinq de suite ont une probabilité de (1/37)⁵ = 1 sur 69 343 957. Mais personne ne désigne le numéro à l’avance. Quel que soit le premier numéro sorti, les quatre coups suivants doivent le répéter : (1/37)⁴ = 1 sur 1 874 161.
20 tables × 40 coups × 24 heures × 365 jours = 7 008 000 coups par an. Chaque coup peut ouvrir une série, donc le casino peut s’attendre à 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 séries de cinq par an.
Il n’existe aucun record officiel de ce genre, et il n’en faut pas : un événement rare à une table est un événement banal à l’échelle d’un casino, et on raconte l’histoire de la table où il s’est produit. L’histoire, chez Goldman (2007), se passe sur un cylindre à double zéro, où les chiffres sont 1 sur 79 millions et 1 sur 2,09 millions.
Intermède comique
Le hasard ressemble à de longues séries.
Sources
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.