Problème : deux douzaines et un jeton

Le problème

Vous misez $10 sur la première douzainepariDozenNom anglais de la douzaine, courant sur les tables en ligne. 1–12, 13–24 ou 25–36, paie 2:1.Lire en entier →, $10 sur la deuxième douzaine et $1 sur le zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier →. (a) Quelles sont les issues possibles et leurs probabilités ? (b) Quelle est l’espérance mathématiquemathsEspérance mathématiqueLe résultat moyen par pari à long terme. −1/37 de la mise pour chaque pari standard de la roulette européenne.Lire en entier → ? (c) Le jetonargentJetonUne pièce représentant un montant fixe, posée sur le tapis pour faire un pari. Aussi, en anglais : cheque.Lire en entier → sur le zéro améliore-t-il le pari ?

Solution (a) et (b)

Issues : billematérielBilleLa petite bille lancée sur la piste dans le sens contraire à celui du rotor. Les billes modernes sont en ivorine ou en Téflon, 18–21 mm.Lire en entier → dans 1–24 (24 casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier →) : une douzaine paie $20, l’autre perd $10, le zéro perd $1 : net +$9. Bille dans 25–36 (12 cases) : les deux douzaines perdent, le zéro perd : −$21. Bille sur le zéro (1 case) : les douzaines perdent $20, le zéro paie $35 : +$15. EV = (24 × 9 + 1 × 15 − 12 × 21)/37 = (216 + 15 − 252)/37 = −21/37 ≈ −$0,57 par coup sur $21 misés : 2,70%.

Solution (c)

Sans le jeton sur le zéro : (24 × 10 − 13 × 20)/37 = (240 − 260)/37 = −20/37 ≈ −$0,54 sur $20 misés, soit aussi 2,70%. Le jeton sur le zéro a transformé l’issue du zéro de −$20 en +$15 (une amélioration de $35 une fois sur 37, valant $0,95 par coup) et a coûté $1 sur les 36 autres coups (valant $0,97 par coup). Variation nette : −$0,03 par coup, soit 2,70% du dollar supplémentaire. L’assurance est tarifée exactement comme tout le reste.

Pourquoi cela se généralise

Les espérances s’additionnent. Tout ensemble de paris simultanés a une EV égale à la somme des EV de ses composantes, dont chacune vaut −1/37 de sa mise. Donc toute combinaison vaut −1/37 de la mise totale. Aucune disposition de jetons sur le tapismatérielTapisLa grille de mise imprimée sur la table. Aussi : table, feutre, drap.Lire en entier →, si nombreux soient-ils, n’y échappe ; l’outil Constructeur de paris le confirmera pour n’importe quel ensemble que vous pouvez placer. Ce que les combinaisons changent, c’est la distribution : la fréquence des gains, leur montant et la gravité du pire cas.

Une suite plus difficile

Trouvez une combinaison de paris classiques qui couvre les 37 numéros. Trois douzaines ($10 chacune) plus $1 sur le zéro : n’importe quel numéro de 1–36 donne un net de −$1 (une douzaine paie $20, les deux autres perdent $20, le zéro perd $1), et le zéro donne un net de +$35 − $30 = +$5. EV = (36 × (−1) + 5)/37 = −31/37 sur $31 misés : 2,70%. Vous pouvez vous garantir de n’être jamais surpris, et vous payez toujours le même prix pour ce privilège.

Formule

Questions