Mathématiques · Notion de base · 7 min

Espérance mathématique

Le résultat moyen d’un pari si vous pouviez le répéter indéfiniment. À la roulette européenne, il est le même pour tous les paris standards : vous perdez 1/37 de chaque mise, en moyenne, par coup.

En termes simples

Imaginez que vous placiez un million de fois la même mise de $10 sur le rouge. Certains coups gagnent $10, d’autres perdent $10. Additionnez tous les résultats et divisez par un million : vous obtenez environ −$0,27. Ce nombre est l’espérance mathématique. Ce n’est pas ce qui se passe sur un coup donné ; c’est la moyenne par coup à long terme.

Réponse courteEV = probabilité de gagner × montant gagné − probabilité de perdre × montant perdu. Pour tous les paris standards de la roulette, cela donne −2,70% de la mise.

Formule

EV = p · W − (1 − p) · S
p = n/37 · W = S·(36/n − 1) · n = numéros couverts · S = mise

Remplacez le gain par la règle de paiement de la roulette, 36/n − 1, et n s’élimine. Toute l’histoire de l’avantage de la maison tient en une ligne :

EV = (n/37)·S·(36/n − 1) − ((37−n)/37)·S
= S·(36 − n − 37 + n)/37
= −S/37

À vous d’essayer

Choisissez combien de numéros le pari couvre. La probabilité et le paiement changent ; l’espérance mathématique, non.

1 numéro couvert · paie 35:1mise $10

perte 97,3%

p(gain)1/37 = 2,70%

un gain paie+$350

une perte coûte−$10

EV = p·W − (1−p)·S0,0270·$350 − 0,9730·$10

espérance mathématique−$0,27 par coup · −2,70%

Ce que cela donne au fil du temps

Résultat moyen par coup pour une mise de $10 sur le rouge, à mesure que les coups s’accumulent. Au début, la chance domine ; la moyenne cumulée se stabilise vers −$0,27 quand l’échantillon grandit. C’est la convergence à long terme sur laquelle compte la maison.

Idées reçues

« Une EV négative signifie que je perdrai à chaque session. »

Non. Elle signifie que la moyenne sur de nombreuses sessions est une perte. Les sessions individuelles varient beaucoup, et davantage encore pour les paris à forte variance comme le plein.

« Le casino a besoin de beaucoup de temps pour gagner. »

L’avantage du casino s’applique à chaque coup ; ce que fait le long terme, c’est rendre le résultat prévisible. Sur une seule session, la chance pèse davantage.

« Certains paris ont une meilleure EV que d’autres. »

Pas à la roulette européenne, à une exception près : avec le partage ou la règle « en prison », les chances simples supportent la moitié de l’avantage de la maison habituel.