Cylindres insolites
Des cylindres à 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 ou 105 cases. Une seule règle fixe le prix de presque tous : la part des cases que les paiements ignorent.
Quand les paiements sont fixés comme si les cases de la maison n’existaient pas, l’avantage de la maisonmathsAvantage de la maisonLa part de chaque mise que le casino garde en moyenne : 2,70% à la roulette européenne.Lire en entier → est le nombre de cases de la maison divisé par le nombre total de cases, quelle que soit la taille du cylindre. La plupart des cylindres insolites suivent cette règle. Les plus intéressants la brisent : un paiement arrondi, un tour bonus, ou un pari qui reste en place plusieurs coups.
Une règle pour tous les cylindres
La roulette européennevarianteRoulette européenneCylindre à un seul zéro, 37 cases, avantage de la maison de 2,70%. Le modèle de référence de ce site.Lire en entier → paie 35 contre 1 comme si le cylindre avait 36 casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier →. Il en a 37, et la case manquante, ce sont les 2,70% d’avantage. La même règle vaut pour n’importe quel cylindre : avec N numéros et Z cases de la maison, un pari sur n numéros qui paie (N − n)/n contre 1 a un avantage de Z/(N + Z). Des cylindres de toutes tailles ont été construits ou proposés selon cette règle, et le tableau les classe par prix.
Plus grand peut coûter moins cher
Les joueurs voient dans un cylindre à 62 cases un pari plus aléatoire et en déduisent un jeu plus défavorable. L’avantage ne dépend que de la part des cases de la maison. Le Super 62 a deux zéroscylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier →, comme le cylindre américain, mais ce sont 2 cases sur 62 et non 2 sur 38 : il coûte donc 3,23% contre 5,26%. La Roulette 73, avec 72 numéros et un zéro, coûterait 1,37%, à peu près autant que les chances simples de la roulette française. Sur un petit cylindre, la règle joue dans l’autre sens. Bollman décrit un cylindre ancien à 18 cases, du 1 au 16 plus le 0 et le 00. Selon la règle, chaque pari coûterait 2/18, 11,11% : deux cases de la maison pèsent lourd sur un petit cylindre.
Là où la règle se brise : l’arrondi
Un paiementargentPaiementCe que rapporte un pari gagnant, exprimé sous la forme « X contre 1 », en plus de la mise rendue.Lire en entier → doit correspondre à un montant de jetonsargentJetonUne pièce représentant un montant fixe, posée sur le tapis pour faire un pari. Aussi, en anglais : cheque.Lire en entier → raisonnable, et quand la règle donne une fraction, le casino arrondit vers le bas. Le pari Avenue de la 100 To 1 Roulette couvre 15 cases et devrait payer 5⅔ contre 1 ; il paie 11 contre 2, ce qui fait passer son avantage de 4,76% à 7,14%. Sur le Super 62, sept numéros contiennent le chiffre 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) et le pari sur ce chiffre paie 7 contre 1, ce qui le met à 9,68%, trois fois le reste du tapismatérielTapisLa grille de mise imprimée sur la table. Aussi : table, feutre, drap.Lire en entier →. Le pari blanc de la Riverboat Roulette couvre 8 numéros à 7 contre 2 ; à une table sans jetons de 50 cents, une mise gagnante de $5 est payée $17 au lieu de $17,50, ce qui fait passer l’avantage de 5,26% à 7,37%. Le pari américain sur cinq numéros, à 7,89%, est le cas familier du même phénomène.
Là où la règle se brise : les bonus
Fast Action Roulette, lancée au Marina Bay Sands en 2020, utilise un vrai cylindre à quatre zéros, qui coûterait à lui seul 10%. Dix numéros Bonus s’allument au hasard à chaque coup. Un pleinpariStraight upNom anglais du plein, courant sur les tables en ligne. Un seul numéro, paie 35:1.Lire en entier → paie 35 contre 1, 40 contre 1 si son numéro est un numéro Bonus, et 80 contre 1 si toute sa rangée de quatre est Bonus, ce qui le ramène à 6,65%. Les trois autres paris du jeu coûtent bien plus. La Double Bonus Spin d’IGT ajoute à un cylindre américain une case Bonus jaune, large d’une case et demie ; quand la billematérielBilleLa petite bille lancée sur la piste dans le sens contraire à celui du rotor. Les billes modernes sont en ivorine ou en Téflon, 18–21 mm.Lire en entier → s’y arrête, chaque pari reçoit deux coups gratuits. D’après notre calcul, cela abaisse l’avantage à une valeur comprise entre 1,94% (un plein) et 2,73% (une chance simple), en dessous du cylindre américain ordinaire. Bollman (2021) donne de 3% à 16% pour ce jeu ; sa formule simplifiée contient une erreur d’algèbre et, pour les chances simplespariChance simpleRouge/noir, impair/pair, passe/manque. 18 numéros, paie 1:1.Lire en entier →, elle implique que les coups gratuits perdent plus que la mise, ce qui est impossible.
Là où la règle se brise : les paris qui restent en place
La Riverboat Roulette (2012) a donné une seconde couleur à 32 numéros d’un cylindre américain. Le blanc marque les quatre cases qui entourent chaque zéro (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Un pari sur un groupe de couleur gagne si l’un de ses numéros sort avant l’un des huit numéros blancs. Un numéro blanc est un « White Out » qui balaie tous les paris sur les couleurs. Tout autre numéro fait coup nul : le pari reste en place et, entre deux coups, il peut être retiré ou augmenté. Le sarcelle couvre trois numéros et paie 2 contre 1. Par pari réglé, il perd 2/11 de la mise, 18,18%. Par coup, il perd 2/38, les 5,26% habituels, car un pari reste en moyenne en place 38/11 coups, environ 3,5.
Une roue que Thorp savait prédire : le Big Six
Le Big Six, ou roue de la fortune, est une grande roue verticale de 54 cases : 24 paient 1 contre 1, 15 paient 2 contre 1, sept 5 contre 1, quatre 10 contre 1, deux 20 contre 1, et deux cases à logo paient 40 contre 1. Il n’y a pas de zéro ; la maison prélève sa part en payant moins que la cote réelle, et l’avantage va de 11,1% sur les cases qui paient 1 contre 1 à 24,1% sur les logos. En 1961, Thorp a construit pour ce jeu un prédicteur de la taille d’une boîte d’allumettes, actionné par un interrupteur commandé avec l’orteil, et en 1981, en chronométrant un tour d’une roue de casino avec une montre-bracelet, il a constaté qu’il pouvait d’habitude annoncer le point d’arrêt à cinq cases près. Ne miser que sur les cases bien payées proches de la prédiction aurait rapporté environ +211%, si les mises étaient acceptées après le lancement de la roue. Elles ne le sont pas, et la roue tourne lentement, à la vue de tous : une mise tardive se remarquerait. Thorp a écrit que le jeu était trop peu animé pour en dissimuler une.
Pourquoi si peu s’imposent
Un cylindre professionnel coûte des milliers de dollars, et un cylindre au nombre de cases inhabituel doit être fabriqué sur commande. La plupart des nouveaux jeux de roulette gardent donc le cylindre standard et ajoutent des paris : c’est pourquoi la page des paris annexes est plus longue que celle-ci. Le cylindre à aigle de 31 cases de l’Amérique du XIXe siècle, à 12,90% sur un numéro seul et 9,68% sur tout le reste, est mort de son propre prix. L’idée d’une troisième case de la maison est revenue en 2016 sur un cylindre à 39 cases, où elle coûte 7,69%.
Questions
Pas en soi. L’avantage est la part des cases de la maison : 1 sur 73 coûte moins cher que 1 sur 37.
La Roulette 73, à 1,37%, mais c’est un modèle publié plutôt qu’une table que vous avez des chances de trouver. Parmi les cylindres réellement proposés aux joueurs, le Super 62, à 3,23%, vient juste après l’européen et le français.
Un bonus doit être payé, en général par une réduction du paiement de base ou par un pari séparé à fort avantage.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
Royal Roulette, mise au point en Australie, a 50 casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier → : les 48 cartes du 2 au roi, plus un as et un joker. Une carte seule paie 47 contre 1, deux cartes 23 contre 1, trois 15 contre 1, quatre 11 contre 1, six 7 contre 1, huit 5 contre 1, douze 3 contre 1, seize 2 contre 1 et vingt-quatre 1 contre 1. Quelle règle donne ces paiementsargentPaiementCe que rapporte un pari gagnant, exprimé sous la forme « X contre 1 », en plus de la mise rendue.Lire en entier →, et que coûte chaque pari ?
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Réponse Chaque pari sur n cartes paie (48 − n)/n contre 1 : chaque pari coûte donc 2/50 = 4%.
Essayez la règle sur quelques paris : 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Elle convient aux neuf. La règle chiffre le cylindre comme s’il avait 48 cases : l’as et le joker sont donc les deux cases de la maison, exactement comme le 0 et le 00 sur un cylindre américain.
Deux cases de la maison sur 50 donnent un avantage de 4%. Une version « européenne » retire le joker et garde les paiements : une case de la maison sur 49, un avantage de 2,04%.
Le Super 62 propose un pari sur la présence d’un chiffre choisi dans le numéro gagnant. Concevez le même pari pour un cylindre américain ordinaire. Combien de numéros de 1 à 36 contiennent chaque chiffre, et quels paiements garderaient les 5,26% habituels ?
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Réponse Seuls les chiffres présents dans 3 ou 4 numéros obtiennent des paiements ronds (11 contre 1 et 8 contre 1). Les chiffres 1, 2 et 3 ne peuvent pas être payés équitablement en jetonsargentJetonUne pièce représentant un montant fixe, posée sur le tapis pour faire un pari. Aussi, en anglais : cheque.Lire en entier → entiers.
Comptez les numéros. Le chiffre 1 figure dans le 1, de 10 à 19, le 21 et le 31 : 13 numéros. Le chiffre 2 figure aussi dans 13 numéros et le chiffre 3 dans 10. Les chiffres 4, 5 et 6 figurent chacun dans quatre numéros (4, 14, 24, 34), et 7, 8 et 9 dans trois chacun.
Un pari sur n numéros garde l’avantage américain s’il paie (36 − n)/n contre 1. Cela donne 8 contre 1 pour quatre numéros et 11 contre 1 pour trois, tous deux entiers. Pour 13 numéros, cela donne 23/13, environ 1,77 contre 1, et pour 10 numéros 2,6 contre 1. Arrondissez 1,77 à 7 contre 4 et le pari coûte 5,92% ; arrondissez-le à 2 contre 1 et le joueur a un avantage de 2,63%. Arrondir 2,6 à 5 contre 2 donne 7,89%.
Le chiffre 0 est affaire de choix : 10, 20 et 30 seuls paient 11 contre 1 à 5,26% ; ajoutez le 0 et le 00 et cela devient un pari sur cinq numéros, 6 contre 1 à 7,89%, comme les cinq premiers numérospariBasketNom anglais des quatre premiers, courant sur les tables en ligne. Sur un cylindre à un seul zéro : 0, 1, 2, 3 avec un jeton, paie 8:1. Aussi : first four.Lire en entier →.
chiffrenumérosselon la règlepaiement possibleavantage de la maison1, 2131,77 contre 17 contre 45,92%3102,6 contre 15 contre 27,89%4, 5, 648 contre 18 contre 15,26%7, 8, 9311 contre 111 contre 15,26%La 100 To 1 Roulette paie (100 − n)/n contre 1 sur la plupart des paris, sur un cylindre de 100 numéros et 5 symboles de la maison. Ses paris couvrent 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 ou 50 cases et paient 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 contre 2, 4 et 1 contre 1. Le pleinpariStraight upNom anglais du plein, courant sur les tables en ligne. Un seul numéro, paie 35:1.Lire en entier → et l’Avenue de 15 cases dérogent à la règle. Quel autre pari y déroge, et que coûte-t-il ?
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Réponse Le pari sur trois cases : la règle dit 32⅓ contre 1, il paie 32 contre 1 et coûte 5,71% au lieu de 4,76%.
Confrontez chaque paiement à la règle : 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 et 50/50 = 1 conviennent tous. Pour trois cases, la règle donne 97/3 = 32⅓, qu’aucun jeton ne peut payer : on arrondit donc à 32.
Le pari gagne 3 fois sur 105 coups et rend alors 33 unitésargentUnitéLa mise de base dans laquelle un système ou un joueur compte. Les progressions sont décrites en unités afin de s’appliquer à n’importe quelle table.Lire en entier →, mise comprise : 3 × 33 = 99 unités rendues pour 105 misées, une perte de 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, un modèle publié, a 72 numéros et un zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier →, et chaque pari paie (72 − n)/n contre 1. Ses 24 numéros gris peuvent être couverts avec 14 jetons : 4 pleins et 10 chevauxpariSplitNom anglais du cheval, courant sur les tables en ligne. Deux numéros voisins, paie 17:1.Lire en entier →. Que coûte ce pari de 14 jetons ?
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Réponse 1,37% des 14 jetons, comme tout autre pari sur ce cylindre.
La méthode longue : un plein paie 71 contre 1 et un cheval 35 contre 1. Si l’un des 4 numéros joués en plein sort, vous gagnez 71 et perdez les 13 autres jetons : +58. Si l’un des 20 numéros joués à cheval sort : +35 − 13 = +22. Sur les 49 autres cases, vous perdez les 14. En moyenne sur 73 coups : 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 unités, soit 1/73 de chaque jeton.
La méthode courte : les espérances mathématiquesmathsEspérance mathématiqueLe résultat moyen par pari à long terme. −1/37 de la mise pour chaque pari standard de la roulette européenne.Lire en entier → s’additionnent. Chaque jeton est un pari ordinaire qui perd 1/73 de lui-même, donc 14 jetons perdent 14/73. Combiner des paris change la répartition des résultats, jamais leur coût.
Le Super 62 a 60 numéros, le 0 et le 00, et paie (60 − n)/n contre 1. Ses concepteurs l’ont aussi dessiné avec une, trois et quatre cases de la maison. L’Alphabetic Roulette paie (24 − n)/n contre 1 sur 25 cases, et existe en variante où Y et Z ont chacun leur propre case. Chiffrez les cinq.
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Réponse Avec un à quatre zéros : 1,64%, 3,23%, 4,76% et 6,25%. L’Alphabetic avec Y et Z séparés : 7,69%.
Chacun de ces cylindres garde ses paiements et ne change que le nombre de cases de la maison : l’avantage vaut donc cases de la maison ÷ total des cases.
Un zéro, 61 cases : 1/61 = 1,64%. Deux, 62 cases : 2/62 = 3,23%. Trois, 63 cases : 3/63 = 4,76%. Quatre, 64 cases : 4/64 = 6,25%. Chaque zéro ajouté coûte environ un point et demi.
L’Alphabetic paie comme si elle avait 24 lettres. Avec Y et Z dans la même case, la maison a 1 case sur 25, 4%. Avec Y et Z séparés, elle en a 2 sur 26, 7,69%, autant qu’un cylindre à triple zéro. Couper une case en deux a presque doublé le prix.
cylindrecasescases de la maisonavantage de la maison60 numéros, un zéro6111,64%Super 626223,23%60 numéros, trois zéros6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y et Z séparés2627,69%Un cylindre ancien a 18 cases : du 1 au 16, le 0 et le 00. Les numéros impairs et le 0 sont rougespariRedNom anglais du rouge, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros rouges.Lire en entier →, les numéros pairs et le 00 noirspariBlackNom anglais du noir, courant sur les tables en ligne. Chance simple sur les 18 numéros noirs.Lire en entier →, et les 16 numéros sont disposés sur un tapismatérielTapisLa grille de mise imprimée sur la table. Aussi : table, feutre, drap.Lire en entier → de 4 sur 4. Concevez une table des paiementsargentTable des paiementsLa liste de ce que paie chaque pari ou chaque résultat. Sur les machines et les paris annexes, c’est là que se fixe l’avantage de la maison.Lire en entier → qui donne à chaque pari le même avantage. Et pourquoi le 0 doit-il faire perdre un pari sur le rouge, alors qu’il est rouge ?
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Réponse Payez (16 − n)/n contre 1 : 15 contre 1 sur un numéro, 7 sur deux, 3 sur quatre, 1 sur huit. Chaque pari coûte 11,11%. Si le 0 faisait gagner le pari sur le rouge, le rouge serait un pari équitable.
Chiffrez le cylindre comme si le 0 et le 00 n’existaient pas. Un pari sur n numéros gagne n fois sur 18 et paie (16 − n)/n contre 1 : il rend donc 16 unités, mise comprise, pour 18 misées. Chaque pari coûte 2/18, 11,11%.
Les paris naturels du tapis tombent juste : un numéro 15 contre 1, deux numéros voisins 7 contre 1, une rangée ou une colonnepariColumnNom anglais de la colonne, courant sur les tables en ligne. Douze numéros dans une colonne verticale du tapis, paie 2:1.Lire en entier → de quatre 3 contre 1, et deux rangées, ou les huit numéros impairs, pairs, bas ou hauts, 1 contre 1. Un pari sur trois numéros demanderait 4⅓ contre 1 ; arrondi vers le bas à 4 contre 1, il coûte 16,67%.
Le rouge couvre les huit numéros impairs. Si le 0, qui est rouge, faisait aussi gagner le pari sur le rouge, le rouge couvrirait 9 des 18 cases à 1 contre 1 : un jeu équitablemathsJeu équitableUn jeu dans lequel aucun des deux camps n’a l’avantage : chaque pari a une espérance mathématique nulle.Lire en entier →, sans aucun avantage. Les cases de la maison ne gagnent leur avantage qu’en faisant perdre tous les paris, sauf un pari sur elles-mêmes.
Intermède comique
Comptez les cases de la maison, puis cherchez l’arrondi.
Sources
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”