Problème : le cylindre des anniversaires
Combien de coups avant qu’un numéro se répète ? Bien moins que la plupart des gens ne le devinent.
Le problème des anniversaires sur un cylindre de 37 casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier → : dès 8 coups, il est plus probable qu’improbable qu’un numéro soit déjà sorti deux fois. Les joueurs lisent les répétitions comme des régularités ; c’est le comportement attendu d’un cylindre non biaisé.
Le problème
Lancez un cylindre européen non biaisé. Combien de coups faut-il pour que la probabilitémathsProbabilitéMesure de la possibilité d’une issue, de 0 à 1 ou de 0% à 100%. Un numéro : 1/37 = 2,70%.Lire en entier → qu’au moins deux coups aient donné le même numéro dépasse un demi ? La plupart des joueurs devinent autour de 18 ou 19, la moitié de 37. La réponse est 8.
La solution
Calculez la probabilité qu’il n’y ait aucune répétition et soustrayez-la de un. Après k coups, p(tous différents) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Pour k = 8 : 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, donc p(au moins une répétition) ≈ 0,56. Pour k = 14, elle vaut 0,93 ; pour k = 20, 0,996. L’intuition échoue parce que le nombre de paires de coups croît comme k², et que n’importe quelle paire peut coïncider.
Pourquoi cela compte à la table
Un tableau des résultats des 20 derniers numéros montrera presque toujours au moins une répétition, souvent deux ou trois. Les joueurs voient « le 17 est sorti deux fois en dix coups » et en concluent que le 17 est chaud ; l’arithmétique des anniversaires dit qu’une répétition en dix coups se produit 74% du temps et que le numéro répété est aléatoire. La régularité est réelle ; sa signification ne l’est pas.
Le problème suivant
Combien de coups avant qu’un numéro précis, disons le 17, soit sorti deux fois ? C’est une question différente, avec une réponse bien plus grande : l’attente moyenne est de 74 coups, et la probabilité de deux 17 en 20 coups est d’environ 10%. La différence entre « un numéro quelconque se répète » (8 coups) et « ce numéro se répète » (74 coups) est toute la différence entre une régularité que l’on remarque après coup et une prédiction que l’on fait à l’avance.
À vous d’essayer
Lancez le Jeu de démonstration pour dix coups et regardez l’historique. Il y aura généralement une répétition. Recommencez. Le numéro répété sera différent. Faites-le dix fois et vous aurez vu le problème des anniversairesmathsProblème des anniversairesCombien de personnes faut-il pour que deux d’entre elles aient probablement le même anniversaire, ou combien de coups pour qu’un numéro se répète probablement. Sur un cylindre à 37 cases, 8 coups suffisent pour une probabilité supérieure à une sur deux.Lire en entier → ; faites-le mille fois (les simulateurs le peuvent) et vous l’aurez mesuré.
Formule
Questions
Exactement, avec 37 cases au lieu de 365 jours. 23 personnes donnent 50% pour les anniversaires ; 8 coups donnent 56% pour le cylindre.
50% après environ 19 coups. Toujours banal.
Non. Des milliers de coups d’un même cylindre le feraient ; une répétition, jamais.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
Le tableau des résultats d’un cylindre américain affiche les 16 derniers coups. Quelle est la probabilité qu’aucun numéro n’y figure deux fois ?
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Réponse Environ 2,5% : à peu près 39 tableaux sur 40 montrent au moins une répétition.
Avancez coup par coup. Le premier coup peut donner n’importe quoi. Le deuxième doit l’éviter : 37 cas sur 38. Le troisième doit éviter les deux : 36 sur 38. Le seizième doit éviter quinze numéros : 23 sur 38.
Multipliez : 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
C’est le tableau sans répétition qui est rare. Un tableau avec une répétition ne dit rien du cylindre.
En dix coups d’un cylindre européen, quelle est la probabilité que le 17 sorte exactement cinq fois ? Qu’un numéro, n’importe lequel, sorte cinq fois ou plus ? Et qu’un numéro sorte au moins trois fois en quatre coups ?
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Réponse Le 17 exactement cinq fois : 1 sur 315 576. Un numéro quelconque cinq fois ou plus : environ 1 sur 8 333. Un numéro quelconque trois fois ou plus en quatre coups : 1 sur 349.
Le 17 cinq fois : choisir lesquels des dix coups le donnent, 252 façons, chacune avec une probabilité de (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Au total, 1 sur 315 576.
Un numéro quelconque : chacun des 37 numéros a une probabilité de 1 sur 308 325 de sortir cinq fois ou plus, ce qui donne 37 sur 308 325, soit 1 sur 8 333. Le cas rare de deux numéros sortis cinq fois chacun est compté deux fois, mais le retirer ne change rien à cette précision.
Trois fois en quatre coups : pour un numéro, 4 × 36 + 1 = 145 des 37⁴ résultats possibles ; pour l’un quelconque des 37 numéros, 145/37³ = 1 sur 349.
Le Wizard of Odds a répondu aux versions à double zérocylindreZéroL’unique case verte, qu’aucune chance simple, douzaine ou colonne ne couvre ; la source de l’avantage de la maison. Aussi : zéro simple, 0.Lire en entier → de ces questions ; nos chiffres pour ce cylindre sont 1 sur 359 275, 1 sur 9 243 et 1 sur 368. L’écart entre « le 17 » et « un numéro quelconque », c’est encore le problème des anniversairesmathsProblème des anniversairesCombien de personnes faut-il pour que deux d’entre elles aient probablement le même anniversaire, ou combien de coups pour qu’un numéro se répète probablement. Sur un cylindre à 37 cases, 8 coups suffisent pour une probabilité supérieure à une sur deux.Lire en entier → : il y a 37 façons d’être surpris.
Intermède comique
Quelque chose se répète tôt. Ce quelque chose est aléatoire.
Sources
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.