Décélération
La seule partie du coup qui soit réellement prévisible.
La décélération de la bille sur la piste suit une courbe régulière fixée par le frottement et la traînée. À partir de quelques temps de tour, on peut estimer l’instant de la chute à une fraction de seconde près. La dispersion qui suit annule l’essentiel de cette précision.
Le modèle
On considère que la billematérielBilleLa petite bille lancée sur la piste dans le sens contraire à celui du rotor. Les billes modernes sont en ivorine ou en Téflon, 18–21 mm.Lire en entier → décélère sous l’effet d’un terme constant a (frottement de roulement) et d’un terme proportionnel à la vitesse b·v (traînée de l’air et pertes dépendant de la vitesse) : dv/dt = −(a + bv). La solution est une approche exponentielle vers la vitesse critique de chute. Le temps de tour T = 2πr/v augmente donc à chaque tour d’une quantité croissante. En ajustant a et b sur les premiers tours, on en déduit les tours restants, et donc l’instant de la chute. Rien d’exotique ici : c’est de la mécanique de première année appliquée à une bille sur une piste.
Ce que l’estimation apporte
Un instant de chute connu à 0,2 seconde près, combiné à une vitesse du rotormatérielRotorLa partie tournante du cylindre, qui porte les cases.Lire en entier → de 15 casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier → par seconde, situe la case sous le point de chute à environ trois cases près. C’est la bonne nouvelle pour un prédicteur. La mauvaise, c’est que la bille traverse ensuite le plan inclinématérielPlan inclinéLa zone en pente entre la piste de la bille et les cases, où se trouvent les déflecteurs.Lire en entier →, heurte un déflecteurmatérielDéflecteurL’un des obstacles métalliques du plan incliné qui dispersent la bille dans sa chute. Aussi : canoë, losange, plot.Lire en entier → et rebondit sur les séparateursmatérielSéparateurLa cloison métallique entre deux cases du cylindre.Lire en entier →, et que la case finale se répartit selon une distribution large de 20 à 30 cases. La précision de la phase de piste est en grande partie absorbée par la dispersion de la phase de chute.
Ce qui reste
Si la distribution de la dispersion a un mode, de sorte que la bille termine près de la case de chute plus souvent que par hasard, miser sur un secteurcylindreSecteurUn arc continu de cases sur le cylindre, par opposition à un groupe de numéros sur le tapis.Lire en entier → autour de la case prédite donne un petit avantage. Small et Tse (2012) l’ont mesuré en laboratoire avec une caméra et ont obtenu des taux de réussite du secteur prédit suffisamment élevés pour renverser l’avantage de la maisonmathsAvantage de la maisonLa part de chaque mise que le casino garde en moyenne : 2,70% à la roulette européenne.Lire en entier → de quelques pour cent. Leurs conditions, une vue complète de dessus, un cylindre connu, des mises placées après le lancement de la bille, n’existent pas à une table en direct.
Ce qui change d’heure en heure
Les deux constantes ne sont pas fixes pour un cylindre donné. Les Eudaemons, qui ont chronométré un cylindre de casino pendant des années dans les années 1970, ont constaté que c’est l’air qui freine le plus, davantage que la piste, et que la bille compte : une bille en Téflon perdait de la vitesse deux fois plus vite qu’une bille en composite de boule de billard. Ils ont aussi vu leurs prédictions glisser de 5 à 10% par heure quand on ouvrait une porte ou que le temps changeait, parce qu’un air humide ou lourd ralentit la bille plus tôt. Leur programme gardait donc des réglages distincts pour le taux de ralentissement de la bille et pour la vitesse à laquelle elle quitte la piste, et le joueur réglait les deux à chaque table, puis de nouveau dès que les prédictions commençaient à dériver.
Pourquoi le Laboratoire explique cela
Pas pour que quiconque le fasse, mais pour montrer en quoi consiste réellement le caractère aléatoire du jeu : une phase déterministe, que les casinos défendent par la fermeture anticipée des mises et un nombre minimal de tours, et une phase chaotique, qu’ils défendent par les déflecteurs et des séparateurs bas. Un joueur qui comprend cela comprend pourquoi les 2,70% sont à l’abri.
Faire l’arithmétique soi-même
Chronométrez le passage de la bille devant un déflecteur sur n’importe quel flux vidéo pendant trois tours et extrapolez ; vous serez à un tour près de la chute la plupart du temps, ce qui est la phase déterministe à l’œuvre, telle que décrite. Observez ensuite où la bille termine réellement par rapport à la case située sous le point de chute, et tenez un décompte sur cinquante coups. Ce décompte est une distribution de dispersion, et sa largeur est la réponse à la question « pourquoi est-ce imbattable ? ».
Formule
Questions
Non. Le frottement varie avec la poussière, l’humidité et l’usure. Les prédicteurs réajustent à chaque coup.
Trois donnent une estimation grossière ; cinq ou six une bonne. Le minimum de quatre des studios laisse peu de temps pour miser, et les mises sont de toute façon fermées.
Quelques-uns, brièvement, avec des appareils, avant que les casinos ne s’adaptent et que les lois ne suivent. Voir le jeu d’avantage.
Mathématiques pour le plaisir
Essayez d’abord par vous-même. Chaque solution est repliée : ouvrez-la quand vous êtes prêt.
Dans le modèle illustratif de Thorp d’une billematérielBilleLa petite bille lancée sur la piste dans le sens contraire à celui du rotor. Les billes modernes sont en ivorine ou en Téflon, 18–21 mm.Lire en entier → qui ralentit, si un tour de piste dure T secondes, il reste à la bille 1/(e^(3T/20) − 1) − 10/3 tours avant de quitter la piste. Combien en reste-t-il après un tour d’une demi-seconde, et après un tour d’une seconde entière ? De combien une erreur de chronométrage de 0,012 seconde à T = 0,8 déplace-t-elle la prédiction ?
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Réponse Environ 9,5 tours après un tour d’une demi-seconde et 2,85 après un tour d’une seconde. L’erreur déplace la prédiction d’environ 0,12 tour, soit à peu près 4½ casesmatérielCaseL’un des 37 compartiments numérotés du rotor. Aussi : alvéole, logement.Lire en entier →.
T = 0,5 : 3T/20 = 0,075 et e^0,075 ≈ 1,0779, donc 1/0,0779 ≈ 12,84, et 12,84 − 3,33 ≈ 9,51 tours. T = 1 : e^0,15 ≈ 1,1618, 1/0,1618 ≈ 6,18, et 6,18 − 3,33 ≈ 2,85. Un tour rapide signifie beaucoup de tours à venir, et un tour deux fois plus lent en laisse moins d’un tiers.
À T = 0,8 la formule donne 4,51 tours ; à T = 0,812 elle donne 4,39. Une erreur de 12 millièmes de seconde, à peu près le temps que met la bille à rouler sur sa propre largeur, déplace la prédiction de 0,12 tour : environ 4½ cases d’un cylindre de 37 cases. Cette seule erreur absorbe l’essentiel des 5,5 cases que le budget d’erreur de Thorp accorde au chronométrage de la bille (voir Jeu d’avantage), et c’est pourquoi c’est le chronomètre, et non l’arithmétique, qui limite un prédicteur.
Intermède comique
Prévisible jusqu’à la chute. Ensuite, les déflecteurs.
Sources
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”